1. a) 2+25+25^2+cdots+25^k-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita 2 + 2/5 + 2/5^2 + ⋯ + 2/5^k-1 + ⋯, que é uma série geométrica infinita. Para resolver precisamos usar o conceito e a fórmula de soma de série geométrica infinita.

Passo 2

Em uma série geométrica infinita da forma a + ar + ar^2 + ⋯, o primeiro termo é a e a razão comum é r. Aqui podemos reescrever a soma como a = 2. Comparando, o primeiro termo é r = 1/5 e a razão é |r| = 1/5 < 1. Como , a série converge.

Passo 3

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita que converge é a = 2. Substituindo r = 1/5 e S = 21 - 1/5 = 24/5 = 52 na fórmula temos

Resposta

5/2

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