Identifique e esboce cada uma das curvas abaixo ((r, theta) denotam as coordenadas polares em R^2).
r=sin (theta)+1 (cardioide).

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a curva em coordenadas polares dada por r = 1 + sin(theta). O conteúdo envolve análise de funções em polares e reconhecimento de tipos de limaçons, especialmente o caso a=b que gera uma cardioide.

Passo 2

Vamos analisar os valores extremos de r(theta)=1+sin(theta) para 0 <= theta < 2pi: o valor máximo ocorre em theta=tfracpi2, onde r = 1 + 1 = 2; o valor mínimo ocorre em theta=tfrac3pi2, onde r = 1 - 1 = 0. Como r>=0 sempre, não há laços internos.
Para investigar a simetria, note que sin(pi - theta) = sin(theta). Logo, r(pi - theta)=1+sin(pi - theta)=1+sin(theta)=r(theta), o que indica simetria em relação à reta theta=tfracpi2, ou seja, o eixo vertical.

Passo 3

O formato resultante é um caso particular de limaçon quando os coeficientes de 1 e de sin(theta) são iguais ( a=b=1), definindo uma cardioide. Ela apresenta um vértice máximo em r=2 para theta=tfracpi2 e um cuspide (ponto de curvatura aguda) tocando o polo em theta=tfrac3pi2.
Para esboçar, considere pontos-chave: theta=0implies r=1 dá o ponto (1,0); theta=tfracpi2implies r=2 (0,2); theta=piimplies r=1 (-1,0); theta=tfrac3pi2implies r=0 no polo. Conecte esses pontos suavemente formando a cardioide simétrica verticalmente.

Passo 4

O desenho resultante é uma cardioide com bulbo superior até (0,2), passagem por (1,0) e (-1,0), e cuspide no polo na direção negativa de y.

Resposta

A curva é uma cardioide dada por r=1+sin(theta), simétrica em relação ao eixo vertical, com ponto mais alto em (0,2) e cuspide no polo em theta=3pi/2.

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