Identifique e esboce cada uma das curvas abaixo
denotam as coordenadas polares em
.
(cardioide).
Passo 1
O enunciado pede para identificar e esboçar a curva em coordenadas polares dada por
. O conteúdo envolve análise de funções em polares e reconhecimento de tipos de limaçons, especialmente o caso
que gera uma cardioide.
Passo 2
Vamos analisar os valores extremos de
para
: o valor máximo ocorre em
, onde
; o valor mínimo ocorre em
, onde
. Como
sempre, não há laços internos.
Para investigar a simetria, note que
. Logo,
o que indica simetria em relação à reta
, ou seja, o eixo vertical.
Passo 3
O formato resultante é um caso particular de limaçon quando os coeficientes de
e de
são iguais (
), definindo uma cardioide. Ela apresenta um vértice máximo em
para
e um cuspide (ponto de curvatura aguda) tocando o polo em
.
Para esboçar, considere pontos-chave: dá o ponto
;
dá
;
dá
;
no polo. Conecte esses pontos suavemente formando a cardioide simétrica verticalmente.
Para esboçar, considere pontos-chave:
Passo 4
O desenho resultante é uma cardioide com bulbo superior até
, passagem por
e
, e cuspide no polo na direção negativa de
.
Resposta
A curva é uma cardioide dada por
, simétrica em relação ao eixo vertical, com ponto mais alto em
e cuspide no polo em
.