227 Calcule: \left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}
Observe que a_{ij}=\min(i,j). Vamos usar operações de linha que não alteram o determinante para trazê-la a uma forma triangular.

Passo 2

Como operações do tipo L_i \leftarrow L_i - L_{i-1} não mudam o valor do determinante, aplicamos sucessivamente:
L_4 \leftarrow L_4 - L_3,\quad L_3 \leftarrow L_3 - L_2,\quad L_2 \leftarrow L_2 - L_1.

Passo 3

Após essas operações a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
que é triangular superior.

Passo 4

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal, logo
\det(A) = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

Resposta

1

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