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Calcule os determinantes:
A=\left|\begin{array}{rrr} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right| \quad e \quad B=\left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 3 \\ a & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois determinantes:
A = \left|\begin{array}{rrr} 1 & a & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right| \quad\text{e}\quad B = \left|\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 3 \\\ a & 1 & -1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right|.
O conteúdo é cálculo de determinantes usando zeros em linhas ou colunas e expansão de Laplace.

Passo 2

Para A, observe que só o elemento da primeira coluna não é zero na primeira linha. Expandindo pela primeira coluna:
\det(A) =1 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =1\,(1\cdot1 - (-1)\cdot1) =2.

Passo 3

Na matriz B, a terceira linha é (0\;0\;0\;3). Expandindo pela terceira linha no elemento da coluna 4:
\det(B) =(-1)^{3+4}\cdot3\cdot\det(M) =-3\det(M),
onde M é a matriz obtida retirando a linha 3 e a coluna 4 de B.

Passo 4

A matriz M é
M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\ a & 1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expansão pela primeira linha dá
\det(M) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\,(1\cdot1 - 1\cdot(-1)) =2.

Passo 5

Substituindo em \det(B) = -3\det(M), obtemos
\det(B) = -3 \times 2 = -6.

Resposta

A = 2
B = -6

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