229 Calcule o valor do determinante:
\left|\begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 3 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5\times5. Para isso, vamos usar o método de Laplace, explorando colunas e linhas que tenham muitos zeros, de modo a reduzir recursivamente a ordem do determinante.

Passo 2

Expandimos pela primeira coluna da matriz original, pois só a_{11}=1 é não nulo. Assim,
\det A \;=\; 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 2 & 1 \\\\ -5 & 5 & 1 & 4 \\\\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}.

Passo 3

Na submatriz 4\times4, a primeira linha é [1,0,0,0]. Expandindo por ela,
\det(\text{4×4}) \;=\; 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculamos o determinante da matriz 3\times3:
\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\\\ 5 & 1 & 4 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0\cdot\begin{vmatrix}1&4\\\ -1&2\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}5&4\\\ 0&2\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}5&1\\\ 0&-1\end{vmatrix} = -2\cdot(5\cdot2-4\cdot0) + (5\cdot(-1)-1\cdot0) = -20 -5 = -25.

Passo 5

Portanto, \det(\text{4×4})=-25 e, como todos os fatores multiplicativos valiam 1, o determinante original de 5×5 é também -25.

Resposta

-25

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