23-24 Determine se os vetores dados são ortogonais, paralelos ou nenhum dos dois.
23. (a) a=lang<= 9,3rang<=, b=lang<=-2,6rang<=
(b) a=lang<= 4,5,-2rang<=, b=lang<= 3,-1,5rang<=
(c) a=-8 i+12 j+4 k, b=6 i-9 j-3 k

Passo 1

O enunciado pede para cada par de vetores determinar se eles são ortogonais (produto escalar zero), paralelos (um é múltiplo escalar do outro) ou nenhum dos dois. Para isso vamos usar:
  • produto escalar acdotb=sum ai bi;
  • se acdotb=0 então são ortogonais;
  • caso contrário, checar se existe lambda tal que a=lambdab (todos os quocientes das componentes iguais).

Passo 2

(a) Para a=lang<= 9,3rang<= e b=lang<= -2,6rang<= calculamos
acdotb =9cdot(-2)+3cdot6 =-18+18 =0
Como o produto escalar deu zero, os vetores são ortogonais.

Passo 3

(b) Para a=lang<= 4,5,-2rang<= e b=lang<= 3,-1,5rang<= temos
acdotb =4cdot3+5cdot(-1)+(-2)cdot5 =12-5-10 =-3neq0,
logo não são ortogonais. Agora checamos paralelismo pelos quocientes
43,5-1=-5,-25=-tfrac25,
que são todos diferentes. Portanto não são paralelos nem ortogonais.

Passo 4

(c) Para a=-8i+12j+4k e b=6i-9j-3k primeiro o produto escalar:
acdotb =(-8)cdot6+12cdot(-9)+4cdot(-3) =-48-108-12 =-168neq0,
logo não são ortogonais. Agora olhamos os quocientes das componentes:
-86=-tfrac43, 12-9=-tfrac43, 4-3=-tfrac43
Como todos coincidem, a = (-tfrac43),b, então são paralelos.

Resposta

(a) ortogonais
(b) nenhum dos dois
(c) paralelos

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