Dada a equação x^2+4 y^2+2 x-12 y+6=0, escrever a equação da elipse na forma padrão (Rpta: Elipse (x+1)^24+(y-3 / 2)^2=1 ).

Passo 1

O enunciado dá a equação geral da cônica
x^2+4y^2+2x-12y+6=0
e pede para escrever essa elipse na forma padrão. O conteúdo aqui é completar quadrados em x e em y.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e isolamos o termo constante:
(x^2+2x)+l(4y^2-12yr)+6=0

Passo 3

Completar o quadrado em x:
x^2+2x = (x+1)^2-1

Passo 4

Completar o quadrado em y, lembrando de fatorar o 4:
4y^2-12y = 4l(y^2-3yr) =4l((y-tfrac32)^2 - l(tfrac32r)^2r) =4(y-tfrac32)^2-9

Passo 5

Substituindo as expressões completadas na equação original:
l((x+1)^2-1r)+l(4(y-tfrac32)^2-9r)+6=0
Longrightarrow (x+1)^2+4(y-tfrac32)^2-1-9+6=0
Longrightarrow (x+1)^2+4(y-tfrac32)^2-4=0
Longrightarrow (x+1)^2+4(y-tfrac32)^2=4

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 4 para obter o 1 do lado direito:
(x+1)^24 + 4(y-tfrac32)^24 = 1 Longrightarrow (x+1)^24 + (y-tfrac32)^2=1

Resposta

Elipse (x+1)^24+(y-tfrac32)^2=1.

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