Determinar a equação da elipse com centro na origem, eixo maior sobre o eixo X, sabendo que passa pelos pontos (raiz6,-1) e(2, raiz2) (Rpta: Elipse x^28+y^24=1 ).

Passo 1

O enunciado pede a elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo X que passe por l(raiz6,-1r) e l(2,raiz2r).
Conteúdo: forma canónica da elipse centrada na origem, x^2a^2+y^2b^2=1, com a>b>0.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da elipse pedida:
x^2a^2+y^2b^2=1,
onde a é o semi-eixo maior (no eixo X) e b o semi-eixo menor.

Passo 3

Como a elipse passa por l(raiz6,-1r), substituímos na equação:
(raiz6)^2a^2+(-1)^2b^2=1 Longrightarrow 6a^2+1b^2=1
Chamemos-a de equação (1).

Passo 4

Pela passagem em l(2,raiz2r) temos:
2^2a^2+(raiz2)^2b^2=1 Longrightarrow 4a^2+2b^2=1
Chamemos-a de equação (2).

Passo 5

Subtraindo (2) de (1):
l(tfrac6a^2+tfrac1b^2r) -l(tfrac4a^2+tfrac2b^2r)=0 Longrightarrow 2a^2-1b^2=0 Longrightarrow 2a^2=1b^2 Longrightarrow a^2=2,b^2

Passo 6

Substituímos a^2=2b^2 em (1):
62b^2+1b^2=1 Longrightarrow 3b^2+1b^2=1 Longrightarrow 4b^2=1 Longrightarrow b^2=4
Logo b=2 e a^2=2cdot4=8, isto é a=2raiz2.

Resposta

A equação da elipse é
boxedx^28+y^24=1

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