Os vértices de uma elipse são os pontos (-3,7) e(-3,-1). Sabendo que o comprimento do lado reto é 2 , determinar sua equação (Rpta: Elipse (x+3)^24+(y-3)^216=1 ).

Passo 1

O enunciado dá os vértices de uma elipse em (-3,7) e (-3,-1) e informa que o comprimento do lado reto é 2. Queremos encontrar a equação da elipse. Para isso precisamos:
  1. Determinar o centro (h,k).
  2. Identificar a orientação do eixo maior (horizontal ou vertical).
  3. Calcular o semi-eixo maior a a partir da distância entre o centro e um vértice.
  4. Usar a fórmula do lado reto l = tfrac2b^2a para achar o semi-eixo menor b.
  5. Montar a equação padrão da elipse.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio entre os vértices. Calculamos
h = -3 + (-3)2 = -3, k = 7 + (-1)2 = 3
Logo, o centro é (h,k)=(-3,3).

Passo 3

Como os vértices têm a mesma abscissa x=-3, o eixo maior é vertical. A forma padrão da elipse com eixo maior vertical e centro em (h,k) é
(x-h)^2b^2 + (y-k)^2a^2 = 1
com a semi-eixo maior e b semi-eixo menor.

Passo 4

O semi-eixo maior a é a distância do centro até um vértice. Tomando o vértice (-3,7),
a = |7 - 3| = 4, portanto a^2 = 16

Passo 5

O lado reto (latus rectum) tem comprimento dado por
l = 2b^2a
Como l=2 e a=4, temos
2 = 2b^24 Longrightarrow b^2 = 4,
logo b = 2.

Passo 6

Substituindo h=-3, k=3, a^2=16 e b^2=4 na forma padrão, obtemos
(x+3)^24 + (y-3)^216 = 1

Resposta

(x+3)^24 + (y-3)^216 = 1

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