51-54 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.

Passo 1

O enunciado pede: usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. Informações relevantes (que deveriam vir do enunciado do exercício):
  • A função cuja raiz queremos provar que existe, ou seja, f(x).
  • O intervalo fechado onde procurar a raiz, isto é, [a,b].
    Observação importante: o enunciado que você me enviou não contém nem a função f nem o intervalo [a,b]. Sem esses dois dados não há como aplicar numericamente o teorema para concluir existência de raiz naquele caso concreto.

Passo 2

O que diz o Teorema do Valor Intermediário (TVI) — enunciação e interpretação simples:
  • Enunciado do TVI: se f é contínua em [a,b] e L é qualquer número entre f(a) e f(b), então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=L.
  • Para provar existência de raiz usamos o caso particular L=0. Se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
    Intuição: uma função contínua não “salta” de um valor positivo para um valor negativo sem passar por zero; por isso há um ponto onde ela vale zero.

Passo 3

O que é preciso verificar antes de aplicar o TVI (passos que você deve executar na prova):
  1. Verificar continuidade de f em [a,b].
    • Dica prática: polinômios são contínuos em toda parte; funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero; exponenciais, logaritmos, trigonométricas (no domínio) são contínuas; se f for definida por partes, verificar continuidade nos pontos de junção.
    • Formalmente, f é contínua em x_0 se \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).
  2. Calcular f(a) e f(b).
  3. Checar sinais:
    • Se f(a)=0 ou f(b)=0, já encontrou uma raiz (no endpoint).
    • Se f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0 (pelo TVI).
    • Se f(a)\cdot f(b)>0, o TVI não permite concluir (pode haver raiz par ou nenhuma raiz; é preciso outra técnica ou escolher outro subintervalo).

Passo 4

Demonstração com um exemplo concreto (modelo que você pode copiar na prova). Vou mostrar passo a passo com a função \,f(x)=x^{3}-2x-5 no intervalo [2,3].
  1. Continuidade: f é polinômio, logo contínua em [2,3].
  2. Calcular f(2) e f(3):
    • f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-4-5= -1.
    • f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16.
  3. Sinais: f(2)=-1<0 e f(3)=16>0. Assim f(2)\cdot f(3)=-16<0.
  4. Conclusão pelo TVI: como f é contínua em [2,3] e f(2) e f(3) têm sinais opostos, existe c\in(2,3) tal que f\text{(c)}=0. Portanto há pelo menos uma raiz em (2,3).
    Observação: este é o tipo de argumento curto e direto que os professores esperam: continuidade + avaliação nos extremos + sinal oposto → aplicação do TVI.

Passo 5

Outros casos úteis e armadilhas (coisas para ficar atento na prova):
  • Caso f(a)=0 ou f(b)=0: declare que encontrou raiz no extremo; não precisa aplicar mais nada.
  • Se f(a) e f(b) têm o mesmo sinal, não dê por encerrado — procure um subintervalo onde o sinal mude ou use derivadas/monotonicidade, ou um argumento algébrico para localizar um intervalo apropriado.
  • Se f for definida por partes, sempre verifique continuidade no nó; se não for contínua, o TVI não vale diretamente.
  • TVI garante existência, não quantidade nem unicidade da raiz. Para mostrar unicidade, costuma-se usar o Teorema de Bolzano combinado com monotonicidade (por exemplo, se f' mantém sinal, então f é estritamente monotônica e a raiz é única).

Passo 6

Exemplo rápido de situação em que o TVI não conclui:
  • Tome f(x)=x^{2}+1 em [-1,1]. Tem f(-1)=2 e f(1)=2; ambos positivos. Assim f(-1)\cdot f(1)>0 e o TVI não garante existência de raiz. De fato, f(x)>0 em todo o intervalo e não há raiz ali.
  • Lição: verificar sinais é decisivo.

Passo 7

Como escrever a solução na prova (modelo de resposta curta):
  1. “A função f é contínua em [a,b] porque \dots (justificar).”
  2. “Calculando f(a)=\dots e f(b)=\dots.”
  3. “Como f(a)\cdot f(b)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Logo existe ao menos uma raiz em (a,b).”
    Esse é o roteiro a seguir; substitua os pontos pelas contas do exercício.

Passo 8

Aplicação ao seu enunciado específico: não é possível executar os passos numéricos nem concluir sobre os itens 51–54 porque não foram fornecidos a função f nem o intervalo [a,b]. Para cada exercício dessa lista seria preciso ao menos esses dois dados para calcular f(a), f(b) e aplicar o TVI.

Resposta

Não é possível aplicar o Teorema do Valor Intermediário porque o enunciado não fornece a função f(x) nem o intervalo [a,b].

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