51-54 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
Passo 1
O enunciado pede: usar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. Informações relevantes (que deveriam vir do enunciado do exercício):
- A função cuja raiz queremos provar que existe, ou seja,
. - O intervalo fechado onde procurar a raiz, isto é,
.
Observação importante: o enunciado que você me enviou não contém nem a funçãonem o intervalo . Sem esses dois dados não há como aplicar numericamente o teorema para concluir existência de raiz naquele caso concreto.
Passo 2
O que diz o Teorema do Valor Intermediário (TVI) — enunciação e interpretação simples:
- Enunciado do TVI: se
é contínua em e é qualquer número entre e , então existe tal que . - Para provar existência de raiz usamos o caso particular
. Se é contínua em e e têm sinais opostos (ou seja, ), então existe tal que .
Intuição: uma função contínua não “salta” de um valor positivo para um valor negativo sem passar por zero; por isso há um ponto onde ela vale zero.
Passo 3
O que é preciso verificar antes de aplicar o TVI (passos que você deve executar na prova):
- Verificar continuidade de
em . - Dica prática: polinômios são contínuos em toda parte; funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero; exponenciais, logaritmos, trigonométricas (no domínio) são contínuas; se
for definida por partes, verificar continuidade nos pontos de junção. - Formalmente,
é contínua em se .
- Dica prática: polinômios são contínuos em toda parte; funções racionais são contínuas onde o denominador não é zero; exponenciais, logaritmos, trigonométricas (no domínio) são contínuas; se
- Calcular
e . - Checar sinais:
- Se
ou , já encontrou uma raiz (no endpoint). - Se
, então existe com (pelo TVI). - Se
, o TVI não permite concluir (pode haver raiz par ou nenhuma raiz; é preciso outra técnica ou escolher outro subintervalo).
- Se
Passo 4
Demonstração com um exemplo concreto (modelo que você pode copiar na prova). Vou mostrar passo a passo com a função
no intervalo
.
- Continuidade:
é polinômio, logo contínua em . - Calcular
e : -
- Sinais:
e . Assim . - Conclusão pelo TVI: como
é contínua em e e têm sinais opostos, existe tal que . Portanto há pelo menos uma raiz em .
Observação: este é o tipo de argumento curto e direto que os professores esperam: continuidade + avaliação nos extremos + sinal oposto → aplicação do TVI.
Passo 5
Outros casos úteis e armadilhas (coisas para ficar atento na prova):
- Caso
ou : declare que encontrou raiz no extremo; não precisa aplicar mais nada. - Se
e têm o mesmo sinal, não dê por encerrado — procure um subintervalo onde o sinal mude ou use derivadas/monotonicidade, ou um argumento algébrico para localizar um intervalo apropriado. - Se
for definida por partes, sempre verifique continuidade no nó; se não for contínua, o TVI não vale diretamente. - TVI garante existência, não quantidade nem unicidade da raiz. Para mostrar unicidade, costuma-se usar o Teorema de Bolzano combinado com monotonicidade (por exemplo, se
mantém sinal, então é estritamente monotônica e a raiz é única).
Passo 6
Exemplo rápido de situação em que o TVI não conclui:
- Tome
em . Tem e ; ambos positivos. Assim e o TVI não garante existência de raiz. De fato, em todo o intervalo e não há raiz ali. - Lição: verificar sinais é decisivo.
Passo 7
Como escrever a solução na prova (modelo de resposta curta):
- “A função
é contínua em porque (justificar).” - “Calculando
e .” - “Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe tal que . Logo existe ao menos uma raiz em .”
Esse é o roteiro a seguir; substitua os pontos pelas contas do exercício.
Passo 8
Aplicação ao seu enunciado específico: não é possível executar os passos numéricos nem concluir sobre os itens 51–54 porque não foram fornecidos a função
nem o intervalo
. Para cada exercício dessa lista seria preciso ao menos esses dois dados para calcular
,
e aplicar o TVI.
Resposta
Não é possível aplicar o Teorema do Valor Intermediário porque o enunciado não fornece a função
nem o intervalo
.