23-26 Use a Regra de Simpson com n=10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.

Passo 1

O enunciado diz: “Use a Regra de Simpson com n=10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.”\n
Perguntas pedidas:
  • Estimar, por Simpson com n=10, o comprimento de arco da curva.
  • Comparar essa estimativa com o valor da integral obtido pela calculadora.\n
    Informações relevantes que o enunciado deveria dar (mas não deu):
  • A função y=f(x) cuja curva queremos medir.
  • O intervalo [a,b] no qual calcular o comprimento de arco.\n
    Conclusão imediata: sem a função f e o intervalo [a,b] NÃO há como calcular numericamente o comprimento de arco. Portanto não é possível fornecer o número final pedido para os exercícios 23–26 sem esses dados. Abaixo eu explico didaticamente, passo a passo, exatamente como proceder quando tiver a função e o intervalo, e mostro um exemplo completo com uma curva concreta para aprender o procedimento.

Passo 2

Fórmula do comprimento de arco (intuição e definição).\n
Se a curva estiver dada por y=f(x) e f for diferenciável em [a,b], o comprimento de arco L da curva entre x=a e x=b é dado por
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
O que cada coisa significa:
  • f'(x) é a derivada de f em x, isto é, a inclinação (a razão de variação) da curva naquele ponto.
  • A função integranda g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^{2}} representa o fator de alongamento do pequeno segmento tangente ao aproximarmos o arco por retângulos/triângulos.
  • O integral soma esses alongamentos “infinitesimais” ao longo do intervalo para dar o comprimento total.
Pequena intuição: aproximamos a curva por pequenos segmentos lineares; cada pedaço tem comprimento aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}. No limite \Delta x\to0 aparece a fórmula acima.

Passo 3

Regra de Simpson (fórmula prática) e como aplicá-la à integral do comprimento de arco.\n
A Regra de Simpson aproxima uma integral \int_a^b g(x)\,dx usando parabolas que passam por pontos igualmente espaçados. Requisitos: n deve ser par (aqui n=10 serve). Definições:
h=\frac{b-a}{n},\qquad x_i=a+i h\quad\text{para }i=0,1,\dots,n.
A fórmula de Simpson com n subintervalos é
S_n=\frac{h}{3}\Bigl(g(x_0)+g(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1}g(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2}g(x_i)\Bigr).í
Para o comprimento de arco, toma-se g(x)=\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}. Com n=10 a expressão fica explicitamente:
S_{10}=\frac{h}{3}\Bigl(g(x_0)+g(x_{10})+4\bigl(g(x_1)+g(x_3)+g(x_5)+g(x_7)+g(x_9)\bigr)+2\bigl(g(x_2)+g(x_4)+g(x_6)+g(x_8)\bigr)\Bigr).
Passos práticos para aplicar:
  1. Calcule f'(x) analiticamente.
  2. Forme g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}.
  3. Calcule h=(b-a)/10 e os pontos x_i=a+i h.
  4. Avalie g(x_i) para i=0,\dots,10.
  5. Substitua na fórmula de Simpson acima e calcule S_{10}.
  6. Compare S_{10} com o valor que a sua calculadora dá para \int_a^b g(x)\,dx. Calcule o erro absoluto |S_{10}-I| e o erro relativo |S_{10}-I|/|I|.

Passo 4

Estimativa de erro e como interpretar a precisão.\n
A cota (limite) do erro de Simpson para \int_a^b g(x)\,dx é
|E_S|\le \frac{(b-a)}{180}h^{4}\max_{\xi\in[a,b]}|g^{(4)}(\xi)|
ou, escrevendo em termos de n,
|E_S|\le \frac{(b-a)^{5}}{180\,n^{4}}\max_{\xi\in[a,b]}|g^{(4)}(\xi)|.
Observações:
  • g^{(4)} é a quarta derivada de g. Para usar essa cota precisa estimar (ou majorar) \max|g^{(4)}| no intervalo.
  • Na prática, se g for suave e n=10, o erro costuma ser pequeno; mas a estimativa precisa depende da magnitude de g^{(4)}.
  • Se a função tiver comportamento irregular (singularidade, derivadas grandes), Simpson pode falhar e é preciso aumentar n.

Passo 5

Exemplo completo e prático (para aprender fazendo): curva y=f(x)=x^{2} no intervalo [0,1].\n
Vou mostrar todo o processo com essa curva — assim você aprende o passo a passo e depois aplica ao seu exercício específico quando tiver a função e o intervalo.
  1. Calcular f'(x) e g(x):
f(x)=x^{2},\qquad f'(x)=2x,\qquad g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}=\sqrt{1+4x^{2}}.
  1. Dados do método: a=0, b=1, n=10. Calcula-se
h=\frac{1-0}{10}=0,1.
  1. Pontos x_i=0,0{,}1,0{,}2,\dots,1. Avaliando g(x_i):
\begin{aligned} g(x_0)&=g(0)=\sqrt{1}=1,\\\ g(x_1)&=g(0{,}1)=\sqrt{1+4(0{,}1)^{2}}=\sqrt{1{,}04}\approx1{,}019803902,\\\ g(x_2)&\approx1{,}077032961,\quad g(x_3)\approx1{,}166190378,\\\ g(x_4)&\approx1{,}280624847,\quad g(x_5)\approx1{,}414213562,\\\ g(x_6)&\approx1{,}562049935,\quad g(x_7)\approx1{,}720465053,\\\ g(x_8)&\approx1{,}886796226,\quad g(x_9)\approx2{,}059126028,\\\ g(x_{10})&=g(1)=\sqrt{5}\approx2{,}236067978. \end{aligned}
  1. Calcular as somas necessárias:
\begin{aligned} \text{Soma ímpar }&=g(x_1)+g(x_3)+g(x_5)+g(x_7)+g(x_9)\approx7{,}37979892,\\\ \text{Soma par }&=g(x_2)+g(x_4)+g(x_6)+g(x_8)\approx5{,}806503969,\\\ g(x_0)+g(x_{10})&\approx3{,}236067978. \end{aligned}í
  1. Aplicar a fórmula de Simpson:
\begin{aligned} S_{10} &= \frac{h}{3}\Bigl(g(x_0)+g(x_{10})+4(\text{soma ímpar})+2(\text{soma par})\Bigr)\\[4pt] &= \frac{0{,}1}{3}\Bigl(3{,}236067978+4(7{,}37979892)+2(5{,}806503969)\Bigr)\\[4pt] &\approx 1{,}478942387. \end{aligned}í
  1. Valor verdadeiro da integral (usando primitiva analítica) para comparação:\n
    Uma primitiva de g(x)=\sqrt{1+4x^{2}} é
F(x)=\frac{x}{2}\sqrt{1+4x^{2}}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2x+\sqrt{1+4x^{2}}\bigr)+C.
Portanto o comprimento exato é
L=F(1)-F(0)=\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr)\approx1{,}479200794.
  1. Comparação e erro:
\text{Estimativa Simpson }S_{10}\approx1{,}478942387,\qquad \text{Valor exato }L\approx1{,}479200794.
Erro absoluto:
|S_{10}-L|\approx0{,}000258407.
Erro relativo:
\frac{|S_{10}-L|}{L}\approx1{,}7\times10^{-4}\\ (\text{ou }0{,}017\%).
Comentário: com n=10 a Regra de Simpson já deu uma aproximação muito boa para este exemplo suave.]

Passo 6

Roteiro prático a usar na sua prova (passo a passo curto e memorizável).\n
  1. Identifique f e [a,b].\n
  2. Calcule f'(x) e defina g(x)=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}.\n
  3. Tome n=10 e calcule h=(b-a)/10 e x_i=a+i h.\n
  4. Avalie g(x_i) para i=0,\dots,10.\n
  5. Calcule S_{10} pela fórmula de Simpson escrita no Passo 3.\n
  6. Se a prova pedir comparação com “valor da calculadora”, obtenha \int_a^b g(x)\,dx na calculadora (ou se existir primitiva, calcule analiticamente) e reporte S_{10}, o valor da calculadora, e o erro absoluto e relativo.\n
    Dica de tempo: para provas sem calculadora com limite de tempo, avalie g(x_i) com 3 a 4 casas decimais e faça as somas com cuidado (organize soma dos pares e ímpares separadamente).

Passo 7

Conclusão específica para o seu enunciado original.\n
O enunciado enviado por você não trouxe a função f nem o intervalo [a,b]. Sem esses dados NÃO é possível fornecer a estimativa numérica pedida para os exercícios 23–26. Eu já mostrei passo a passo o método e dei um exemplo prático completo com y=x^{2}. Se você colar aqui a função e o intervalo usados nos itens 23–26, eu aplico imediatamente a Regra de Simpson com n=10, faço as contas detalhadas passo a passo e comparo com o valor obtido pela calculadora (incluindo erro absoluto e relativo).

Resposta

Não é possível calcular porque o enunciado não fornece a função f(x) nem o intervalo [a,b] necessários para montar a integral de comprimento de arco.

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