23-26 Use a Regra de Simpson com
para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.
Passo 1
O enunciado diz: “Use a Regra de Simpson com
para estimar o comprimento de arco da curva. Compare a sua resposta com o valor da integral produzido pela sua calculadora.”\n
Perguntas pedidas:
Perguntas pedidas:
- Estimar, por Simpson com
, o comprimento de arco da curva. - Comparar essa estimativa com o valor da integral obtido pela calculadora.\n
Informações relevantes que o enunciado deveria dar (mas não deu): - A função
cuja curva queremos medir. - O intervalo
no qual calcular o comprimento de arco.\n
Conclusão imediata: sem a funçãoe o intervalo NÃO há como calcular numericamente o comprimento de arco. Portanto não é possível fornecer o número final pedido para os exercícios 23–26 sem esses dados. Abaixo eu explico didaticamente, passo a passo, exatamente como proceder quando tiver a função e o intervalo, e mostro um exemplo completo com uma curva concreta para aprender o procedimento.
Passo 2
Fórmula do comprimento de arco (intuição e definição).\n
Se a curva estiver dada por e
for diferenciável em
, o comprimento de arco
da curva entre
e
é dado por
Se a curva estiver dada por
O que cada coisa significa:
-
é a derivada de em , isto é, a inclinação (a razão de variação) da curva naquele ponto. - A função integranda
representa o fator de alongamento do pequeno segmento tangente ao aproximarmos o arco por retângulos/triângulos. - O integral soma esses alongamentos “infinitesimais” ao longo do intervalo para dar o comprimento total.
Pequena intuição: aproximamos a curva por pequenos segmentos lineares; cada pedaço tem comprimento aproximadamente
. No limite
aparece a fórmula acima.
Passo 3
Regra de Simpson (fórmula prática) e como aplicá-la à integral do comprimento de arco.\n
A Regra de Simpson aproxima uma integral usando parabolas que passam por pontos igualmente espaçados. Requisitos:
deve ser par (aqui
serve). Definições:
A Regra de Simpson aproxima uma integral
A fórmula de Simpson com
subintervalos é
Para o comprimento de arco, toma-se
. Com
a expressão fica explicitamente:
Passos práticos para aplicar:
- Calcule
analiticamente. - Forme
. - Calcule
e os pontos . - Avalie
para . - Substitua na fórmula de Simpson acima e calcule
. - Compare
com o valor que a sua calculadora dá para . Calcule o erro absoluto e o erro relativo .
Passo 4
Estimativa de erro e como interpretar a precisão.\n
A cota (limite) do erro de Simpson para é
A cota (limite) do erro de Simpson para
ou, escrevendo em termos de
,
Observações:
-
é a quarta derivada de . Para usar essa cota precisa estimar (ou majorar) no intervalo. - Na prática, se
for suave e , o erro costuma ser pequeno; mas a estimativa precisa depende da magnitude de . - Se a função tiver comportamento irregular (singularidade, derivadas grandes), Simpson pode falhar e é preciso aumentar
.
Passo 5
Exemplo completo e prático (para aprender fazendo): curva
no intervalo
.\n
Vou mostrar todo o processo com essa curva — assim você aprende o passo a passo e depois aplica ao seu exercício específico quando tiver a função e o intervalo.
Vou mostrar todo o processo com essa curva — assim você aprende o passo a passo e depois aplica ao seu exercício específico quando tiver a função e o intervalo.
- Calcular
e :
- Dados do método:
, , . Calcula-se
- Pontos
. Avaliando :
- Calcular as somas necessárias:
- Aplicar a fórmula de Simpson:
- Valor verdadeiro da integral (usando primitiva analítica) para comparação:\n
Uma primitiva deé
Portanto o comprimento exato é
- Comparação e erro:
Erro absoluto:
Erro relativo:
Comentário: com
a Regra de Simpson já deu uma aproximação muito boa para este exemplo suave.]
Passo 6
Roteiro prático a usar na sua prova (passo a passo curto e memorizável).\n
- Identifique
e .\n - Calcule
e defina .\n - Tome
e calcule e .\n - Avalie
para .\n - Calcule
pela fórmula de Simpson escrita no Passo 3.\n - Se a prova pedir comparação com “valor da calculadora”, obtenha
na calculadora (ou se existir primitiva, calcule analiticamente) e reporte , o valor da calculadora, e o erro absoluto e relativo.\n
Dica de tempo: para provas sem calculadora com limite de tempo, avaliecom 3 a 4 casas decimais e faça as somas com cuidado (organize soma dos pares e ímpares separadamente).
Passo 7
Conclusão específica para o seu enunciado original.\n
O enunciado enviado por você não trouxe a função nem o intervalo
. Sem esses dados NÃO é possível fornecer a estimativa numérica pedida para os exercícios 23–26. Eu já mostrei passo a passo o método e dei um exemplo prático completo com
. Se você colar aqui a função e o intervalo usados nos itens 23–26, eu aplico imediatamente a Regra de Simpson com
, faço as contas detalhadas passo a passo e comparo com o valor obtido pela calculadora (incluindo erro absoluto e relativo).
O enunciado enviado por você não trouxe a função
Resposta
Não é possível calcular porque o enunciado não fornece a função
nem o intervalo
necessários para montar a integral de comprimento de arco.