Use a Fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o com
y=x^{3}, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede: usar a Fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o comprimento do arco da curva y=x^{3} no intervalo 0\le x\le 1.
Informações dadas:
  • A curva é dada por y=f(x)=x^{3}.
  • O intervalo é [0,1].
  • Pede-se o comprimento do arco entre x=0 e x=1.

Passo 2

Recordando a Fórmula 3 do comprimento de arco (caso função explicitamente dada por y=f(x) no intervalo [a,b]):
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Explicação didática da fórmula: L é o comprimento da curva; f'(x) é a derivada de f (a inclinação da tangente em cada ponto). A expressão \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem de aproximar pequenos trechos da curva por segmentos retos e aplicar o Teorema de Pitágoras: um pequeno segmento de curva tem comprimento aproximadamente \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\Delta x\sqrt{1+(\Delta y/\Delta x)^{2}}, e integrando no limite \Delta x\to0 obtém-se a fórmula acima.

Passo 3

Calcular a derivada de y=x^{3}:
\frac{dy}{dx}=f'(x)=3x^{2}.
Aqui 3x^{2} representa a inclinação da curva em cada x.

Passo 4

Substituir na fórmula do comprimento de arco com a=0 e b=1:
L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+\bigl(3x^{2}\bigr)^{2}}\,dx=\int_{0}^{1}\sqrt{1+9x^{4}}\,dx.
Comentário: essa integral não possui primitiva elementar simples (não é expressável em termos das funções elementares usuais). Então podemos deixar a resposta exata como integral ou calcular uma aproximação numérica.

Passo 5

Vou explicar e aplicar uma técnica prática para aproximar numericamente a integral: a Regra de Simpson composta. A Regra de Simpson para n subintervalos (com n par) usa:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\Bigr],
onde h=\dfrac{b-a}{n} e x_k=a+k h. A vantagem é boa precisão com poucos subintervalos; é fácil de aplicar manualmente.

Passo 6

Escolho n=8 (passo h=\dfrac{1-0}{8}=\dfrac{1}{8}=0,125) — bom equilíbrio entre precisão e trabalho manual. Definir f(x)=\sqrt{1+9x^{4}}. Calcular f nos pontos x_k:
\begin{array}{lcl} x_0=0 &\Rightarrow& f(x_0)=\sqrt{1+9\cdot0^{4}}=1,\\[4pt] x_1=0,125 &\Rightarrow& f(x_1)\approx 1,00109803,\\[4pt] x_2=0,25 &\Rightarrow& f(x_2)=\sqrt{1+9\cdot(0,25)^{4}}\approx 1,01742363,\\[4pt] x_3=0,375 &\Rightarrow& f(x_3)\approx 1,0850289,\\[4pt] x_4=0,5 &\Rightarrow& f(x_4)=\sqrt{1+9\cdot(0,5)^{4}}=1,25,\\[4pt] x_5=0,625 &\Rightarrow& f(x_5)\approx 1,5405,\\[4pt] x_6=0,75 &\Rightarrow& f(x_6)\approx 1,9615459,\\[4pt] x_7=0,875 &\Rightarrow& f(x_7)\approx 2,505127,\\[4pt] x_8=1 &\Rightarrow& f(x_8)=\sqrt{10}\approx 3,16227766. \end{array}
Agora aplicar Simpson composta:
L\approx \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7))+2(f(x_2)+f(x_4)+f(x_6))+f(x_8)\bigr].
Substituindo os valores (com h=0,125) obtemos, após somas parciais,
L\approx 1,54780135\quad(\text{valor numérico aproximado}).é]

Passo 7

Verificação rápida de consistência: com menos subintervalos ( n=4) obteve-se L\approx 1,54818; com n=8 deu 1,547801. Os valores são muito próximos, indicando que a aproximação está estável. Portanto podemos reportar o valor com quatro casas significativas.

Resposta

L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+9x^{4}}\,dx\approx 1,5478

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