Use a Fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o com
Passo 1
O enunciado pede: usar a Fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o comprimento do arco da curva
no intervalo
.
Informações dadas:
- A curva é dada por
. - O intervalo é
. - Pede-se o comprimento do arco entre
e .
Passo 2
Recordando a Fórmula 3 do comprimento de arco (caso função explicitamente dada por
no intervalo
):
Explicação didática da fórmula:
é o comprimento da curva;
é a derivada de
(a inclinação da tangente em cada ponto). A expressão
vem de aproximar pequenos trechos da curva por segmentos retos e aplicar o Teorema de Pitágoras: um pequeno segmento de curva tem comprimento aproximadamente
, e integrando no limite
obtém-se a fórmula acima.
Passo 3
Calcular a derivada de
:
Aqui
representa a inclinação da curva em cada
.
Passo 4
Substituir na fórmula do comprimento de arco com
e
:
Comentário: essa integral não possui primitiva elementar simples (não é expressável em termos das funções elementares usuais). Então podemos deixar a resposta exata como integral ou calcular uma aproximação numérica.
Passo 5
Vou explicar e aplicar uma técnica prática para aproximar numericamente a integral: a Regra de Simpson composta. A Regra de Simpson para
subintervalos (com
par) usa:
onde
e
. A vantagem é boa precisão com poucos subintervalos; é fácil de aplicar manualmente.
Passo 6
Escolho
(passo
) — bom equilíbrio entre precisão e trabalho manual. Definir
. Calcular
nos pontos
:
Agora aplicar Simpson composta:
Substituindo os valores (com
) obtemos, após somas parciais,
Passo 7
Verificação rápida de consistência: com menos subintervalos (
) obteve-se
; com
deu
. Os valores são muito próximos, indicando que a aproximação está estável. Portanto podemos reportar o valor com quatro casas significativas.