1. x=\operatorname{sec} x, \quad 0 \leqslant x \leqslant \pi / 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x = \operatorname{sec} x
no intervalo \[0,\pi/3\]. Ou seja, encontrar todos os valores de x em \[0,\pi/3\] que satisfazem essa igualdade. Informações dadas/úteis:
  • O intervalo de interesse é \[0,\pi/3\].
  • A função \operatorname{sec} x está bem definida em \[0,\pi/3\] porque \cos x>0 nesse intervalo (logo não há pontos de descontinuidade aí).

Passo 2

Vamos transformar o problema em estudar o sinal de uma função: defina
h(x)=\operatorname{sec} x - x.
Procuramos soluções de h(x)=0 em \[0,\pi/3\]. Esta é uma técnica padrão: em vez de tentar isolar x numa identidade transcendental, estudamos a função diferença e analisamos seu comportamento (continuidade, derivadas, extremos).
Breve comentário didático sobre por que isso ajuda: se conseguirmos mostrar que h(x)>0 para todo x do intervalo então não existe solução; se mostrarmos que h muda de sinal então existe ao menos uma solução (por Bolzano). Aqui vamos estudar os extremos de h para concluir o que acontece.

Passo 3

Calcule a derivada de h (isso nos ajuda a localizar extremos).
A derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x (regra conhecida: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x). A derivada de -x é -1. Portanto
h'(x)=\operatorname{sec} x\tan x - 1.
Os pontos críticos (candidatos a mínimos/máximos) satisfazem h'(x)=0, isto é
\operatorname{sec} x\tan x = 1.
Rewrite em funções seno e cosseno para facilitar:
\frac{\sin x}{\cos^2 x}=1 \quad\Longrightarrow\quad \sin x = \cos^2 x.

Passo 4

Resolver \sin x = \cos^2 x. Substitua \cos^2 x = 1-\sin^2 x. Seja s=\sin x. Então
s = 1 - s^2 \quad\Longrightarrow\quad s^2 + s - 1 = 0.
Esta é uma equação quadrática em s. A solução positiva (relevante porque \sin x\ge0 em \[0,\pi/3\]) é
s = \frac{-1+\sqrt{1+4}}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Portanto existe exatamente um ponto crítico x_0\in\[0,\pi/3\] tal que
\sin x_0 = s = \frac{\sqrt{5}-1}{2}.
Como \sin x é crescente em \[0,\pi/2\], esse x_0 é único no intervalo considerado.

Passo 5

Determinar se esse ponto crítico é mínimo ou máximo, calculando a segunda derivada. Derivando h'(x)=\operatorname{sec} x\tan x -1 obtemos
h''(x)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x\tan x\big) = \operatorname{sec} x\big(\tan^2 x + \operatorname{sec}^2 x\big).
Explicando: usou-se a regra do produto e as derivadas \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. No intervalo \[0,\pi/3\] tem-se \operatorname{sec} x>0 e \tan^2 x+\operatorname{sec}^2 x>0, logo
h''(x)>0\quad\text{para todo }x\in\[0,\pi/3.]
Assim o ponto crítico x_0 é um mínimo local (e, por ser o único crítico e h ser suave, é o mínimo global no intervalo).

Passo 6

Avaliar h no mínimo x_0. Usamos a relação já obtida \sin x_0 = s com s=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}. Observe uma identidade útil que vem da equação quadrática:
s^2 + s -1 =0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - s^2 = s.
Mas 1 - s^2 = \cos^2 x_0, então
\cos^2 x_0 = s \quad\Rightarrow\quad \cos x_0 = \sqrt{s}.
Logo
\operatorname{sec} x_0 = \frac{1}{\cos x_0} = \frac{1}{\sqrt{s}}, \qquad x_0 = \arcsin s.
Portanto
h(x_0)=\operatorname{sec} x_0 - x_0 = \frac{1}{\sqrt{s}} - \arcsin s.
Agora mostramos que isto é estritamente positivo sem usar aproximações numéricas pesadas. Primeiro, a função \arcsin t é convexa em [0,1] porque \dfrac{d^2}{dt^2}\arcsin t=\dfrac{t}{(1-t^2)^{3/2}}\ge0. Para uma função convexa, o valor em qualquer ponto do segmento [0,1] fica abaixo da corda ligando os extremos; com isso, para todo t\in[0,1] vale
\arcsin t \le \frac{\pi}{2}\,t.
Aplicando isso a t=s obtemos \arcsin s \le \dfrac{\pi}{2}s. Assim
h(x_0) \ge \frac{1}{\sqrt{s}} - \frac{\pi}{2}s.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{s}>0,
\sqrt{s}\,h(x_0) \ge 1 - \frac{\pi}{2}s^{3/2}.
Mas note que
s^{3/2} = s\sqrt{s} = \sin x_0 \cos x_0 = \tfrac{1}{2}\sin(2x_0)\le \tfrac{1}{2},
porque \sin(2x_0)\le1. Então
\frac{\pi}{2}s^{3/2} \le \frac{\pi}{4} < 1,
porque \pi/4\approx0{,}785<1. Logo 1 - \dfrac{\pi}{2}s^{3/2} >0, o que implica \sqrt{s}\,h(x_0) >0 e portanto
h(x_0)>0.
Ou seja, o valor mínimo de h no intervalo é positivo.

Passo 7

Conclusão lógica: h é contínua em \[0,\pi/3\], tem um único mínimo x_0 e esse mínimo satisfaz h(x_0)>0. Logo h(x)>0 para todo x\in\[0,\pi/3\]. Isso significa \operatorname{sec} x - x>0 em todo o intervalo, i.e. \operatorname{sec} x > x em \[0,\pi/3\]. Consequentemente a equação
x=\operatorname{sec} x
não tem solução em \[0,\pi/3\].

Resposta

Não existe solução no intervalo \[0,\pi/3\].

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