Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
no intervalo
. Ou seja, encontrar todos os valores de
em
que satisfazem essa igualdade. Informações dadas/úteis:
- O intervalo de interesse é .
- A função
está bem definida em porque nesse intervalo (logo não há pontos de descontinuidade aí).
Passo 2
Vamos transformar o problema em estudar o sinal de uma função: defina
Procuramos soluções de
em
. Esta é uma técnica padrão: em vez de tentar isolar
numa identidade transcendental, estudamos a função diferença e analisamos seu comportamento (continuidade, derivadas, extremos).
Breve comentário didático sobre por que isso ajuda: se conseguirmos mostrar que
para todo
do intervalo então não existe solução; se mostrarmos que
muda de sinal então existe ao menos uma solução (por Bolzano). Aqui vamos estudar os extremos de
para concluir o que acontece.
Passo 3
Calcule a derivada de
(isso nos ajuda a localizar extremos).
A derivada de é
(regra conhecida:
). A derivada de
é
. Portanto
A derivada de
Os pontos críticos (candidatos a mínimos/máximos) satisfazem
, isto é
Rewrite em funções seno e cosseno para facilitar:
Passo 4
Resolver
. Substitua
. Seja
. Então
Esta é uma equação quadrática em
. A solução positiva (relevante porque
em
) é
Portanto existe exatamente um ponto crítico
tal que
Como
é crescente em
, esse
é único no intervalo considerado.
Passo 5
Determinar se esse ponto crítico é mínimo ou máximo, calculando a segunda derivada. Derivando
obtemos
Explicando: usou-se a regra do produto e as derivadas
e
. No intervalo
tem-se
e
, logo
.]
Assim o ponto crítico
é um mínimo local (e, por ser o único crítico e
ser suave, é o mínimo global no intervalo).
Passo 6
Avaliar
no mínimo
. Usamos a relação já obtida
com
. Observe uma identidade útil que vem da equação quadrática:
Mas
, então
Logo
Portanto
Agora mostramos que isto é estritamente positivo sem usar aproximações numéricas pesadas. Primeiro, a função
é convexa em
porque
. Para uma função convexa, o valor em qualquer ponto do segmento
fica abaixo da corda ligando os extremos; com isso, para todo
vale
Aplicando isso a
obtemos
. Assim
Multiplicando ambos os lados por
,
Mas note que
porque
. Então
porque
. Logo
, o que implica
e portanto
Ou seja, o valor mínimo de
no intervalo é positivo.
Passo 7
Conclusão lógica:
é contínua em
, tem um único mínimo
e esse mínimo satisfaz
. Logo
para todo
. Isso significa
em todo o intervalo, i.e.
em
. Consequentemente a equação
não tem solução em
.
Resposta
Não existe solução no intervalo
.