( 1,0 ) Mostre que f(x)=x^{4}+4 x^{3}+4 x^{2}-x-2 é divisível por g(x)=x^{2}+3 x+2.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções polinomiais:
f(x)=x^{4}+4x^{3}+4x^{2}-x-2
g(x)=x^{2}+3x+2
O que se pede: mostrar que f(x) é divisível por g(x), isto é, mostrar que existe um polinômio q(x) tal que
f(x)=g(x)\,q(x).

Passo 2

A ideia teórica que vamos usar (explicada de forma simples e comprovável) é a seguinte: se a é raiz de um polinômio f, ou seja, se f(a)=0, então o fator linear x-a divide f(x). Isso vem da divisão de polinômios: para todo polinômio f e número a existe um polinômio q e um resto r (número) tais que
f(x)=(x-a)q(x)+r.
Substituindo x=a obtemos f(a)=r. Assim, f(a)=0 implica r=0 e então (x-a) divide f(x). Esse resultado é conhecido como Teorema do Resto / Teorema das Raízes.
Aplicação útil: se um polinômio quadrático g(x) se fatorar em produtos de dois fatores lineares distintos (x-a)(x-b) e se f(a)=0 e f(b)=0, então (x-a) e (x-b) dividem f e, portanto, g(x)=(x-a)(x-b) divide f(x).

Passo 3

Fatorar g(x). Observa-se que g pode ser fatorado por inspeção:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Verificação rápida (para ficar seguro): multiplicando,
(x+1)(x+2)=x^{2}+2x+x+2=x^{2}+3x+2,
logo a fatoração está correta. As raízes de g são, portanto, x=-1 e x=-2.

Passo 4

Calcular f(-1) passo a passo (cada termo em \,f(x) substituído por x=-1):
(-1)^{4}=1,
4(-1)^{3}=4\cdot(-1)=-4,
4(-1)^{2}=4\cdot1=4,
-(-1)=+1,
termo constante -2.
Somando todos:
f(-1)=1-4+4+1-2.
Fazendo a soma em etapas:
1-4=-3,\quad -3+4=1,\quad 1+1=2,\quad 2-2=0.
Portanto
f(-1)=0.

Passo 5

Calcular f(-2) passo a passo:
(-2)^{4}=16,
4(-2)^{3}=4\cdot(-8)=-32,
4(-2)^{2}=4\cdot4=16,
-(-2)=+2,
termo constante -2.
Somando:
f(-2)=16-32+16+2-2.
Em etapas:
16-32=-16,\quad -16+16=0,\quad 0+2=2,\quad 2-2=0.
Logo
f(-2)=0.

Passo 6

Como f(-1)=0 e f(-2)=0, pelo Teorema do Resto os fatores lineares (x+1) e (x+2) dividem f(x). Como
g(x)=(x+1)(x+2),
segue que g(x) divide f(x). Para ficar totalmente explícito para a prova, também podemos apresentar o quociente q(x) obtido pela divisão de f por g.

Passo 7

Divisão polinomial de f(x) por g(x) (passos do polinômio longo):
  1. Primeiro termo do quociente: \dfrac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2}. Multiplica-se g por x^{2}:
x^{2}\cdot g(x)=x^{4}+3x^{3}+2x^{2}.
Subtrai-se de f:
\bigl(x^{4}+4x^{3}+4x^{2}\bigr)-\bigl(x^{4}+3x^{3}+2x^{2}\bigr)=x^{3}+2x^{2}.
Trazendo os termos restantes temos o polinômio intermediário
x^{3}+2x^{2}-x-2.
  1. Segundo termo do quociente: \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Multiplica-se g por x:
x\cdot g(x)=x^{3}+3x^{2}+2x.
Subtrai-se do polinômio intermediário:
\bigl(x^{3}+2x^{2}-x\bigr)-\bigl(x^{3}+3x^{2}+2x\bigr)=-x^{2}-3x.
Trazendo o termo constante obtém-se
-x^{2}-3x-2.
  1. Terceiro termo do quociente: \dfrac{-x^{2}}{x^{2}}=-1. Multiplica-se g por -1:
-1\cdot g(x)=-x^{2}-3x-2.
Subtraindo, o resto é zero.
Assim o quociente é
q(x)=x^{2}+x-1,
e a divisão dá
f(x)=g(x)\bigl(x^{2}+x-1\bigr).

Passo 8

Conclusão final (explicação curta e motivadora): encontramos que f(-1)=f(-2)=0 e, fazendo a divisão polinomial, obtemos quociente x^{2}+x-1 e resto 0. Portanto g(x) divide f(x).

Resposta

f(x)=\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)\bigl(x^{2}+x-1\bigr)

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