( 1,0 ) Mostre que
é divisível por
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções polinomiais:
O que se pede: mostrar que
é divisível por
, isto é, mostrar que existe um polinômio
tal que
Passo 2
A ideia teórica que vamos usar (explicada de forma simples e comprovável) é a seguinte: se
é raiz de um polinômio
, ou seja, se
, então o fator linear
divide
. Isso vem da divisão de polinômios: para todo polinômio
e número
existe um polinômio
e um resto
(número) tais que
Substituindo
obtemos
. Assim,
implica
e então
divide
. Esse resultado é conhecido como Teorema do Resto / Teorema das Raízes.
Aplicação útil: se um polinômio quadrático
se fatorar em produtos de dois fatores lineares distintos
e se
e
, então
e
dividem
e, portanto,
divide
.
Passo 3
Fatorar
. Observa-se que
pode ser fatorado por inspeção:
Verificação rápida (para ficar seguro): multiplicando,
logo a fatoração está correta. As raízes de
são, portanto,
e
.
Passo 4
Calcular
passo a passo (cada termo em
substituído por
):
termo constante
.
Somando todos:
Somando todos:
Fazendo a soma em etapas:
Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo:
termo constante
.
Somando:
Somando:
Em etapas:
Logo
Passo 6
Como
e
, pelo Teorema do Resto os fatores lineares
e
dividem
. Como
segue que
divide
. Para ficar totalmente explícito para a prova, também podemos apresentar o quociente
obtido pela divisão de
por
.
Passo 7
Divisão polinomial de
por
(passos do polinômio longo):
- Primeiro termo do quociente:
. Multiplica-se por :
Subtrai-se de
:
Trazendo os termos restantes temos o polinômio intermediário
- Segundo termo do quociente:
. Multiplica-se por :
Subtrai-se do polinômio intermediário:
Trazendo o termo constante obtém-se
- Terceiro termo do quociente:
. Multiplica-se por :
Subtraindo, o resto é zero.
Assim o quociente é
e a divisão dá
Passo 8
Conclusão final (explicação curta e motivadora): encontramos que
e, fazendo a divisão polinomial, obtemos quociente
e resto
. Portanto
divide
.