(23.29) Mostre que o módulo máximo, E max , do campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado ocorre em x=a / raiz2 e tem o valor Q /(6 raiz3 pi varepsilon0 a^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo elétrico máximo, Emax, ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado acontece em x = a/raiz2 e que seu valor é Q / (6 raiz3 pi varepsilon0 a^2). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por um anel carregado e usar um pouco de cálculo para encontrar o ponto onde esse campo é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico ao longo do eixo de um anel carregado. Imagine um anel de raio a carregado uniformemente com carga total Q. Queremos saber o campo elétrico em um ponto P que está a uma distância x do centro do anel ao longo do seu eixo.
Para isso, usamos a fórmula do campo elétrico de um anel carregado:
E(x) = 14pi varepsilon0 cdot Q x(x^2 + a^2)^3/2
Aqui, varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, para encontrar onde esse campo elétrico é máximo, precisamos encontrar o valor de x que maximiza E(x). Isso significa que vamos derivar E(x) em relação a x e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Vamos derivar E(x):
E(x) = Q x4pi varepsilon0 (x^2 + a^2)^3/2
Calculando a derivada:
dEdx = Q4pi varepsilon0 cdot (x^2 + a^2)^3/2 - x cdot 32 (x^2 + a^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + a^2)^3
Simplificando:
dEdx = Q4pi varepsilon0 cdot (x^2 + a^2) - 3x^2(x^2 + a^2)^5/2 = 0
Isso nos leva a:
(x^2 + a^2) - 3x^2 = 0 Rightarrow a^2 - 2x^2 = 0 Rightarrow x = araiz2

Passo 4

Agora que encontramos que o campo elétrico é máximo em x = a/raiz2, vamos calcular o valor desse campo máximo substituindo x nessa expressão na fórmula do campo elétrico:
Emax = Q cdot araiz24pi varepsilon0 ( (araiz2)^2 + a^2 )^3/2 = Q cdot araiz24pi varepsilon0 ( a^22 + a^2 )^3/2 = Q cdot araiz24pi varepsilon0 ( 3a^22 )^3/2
Simplificando mais:
Emax = Q cdot araiz24pi varepsilon0 cdot 3raiz3 a^32raiz2 = Q6 raiz3 pi varepsilon0 a^2

Resposta

Portanto, o campo elétrico máximo ao longo do eixo do anel ocorre em x = a/raiz2 e tem o valor Emax = dfracQ6 raiz3 pi varepsilon0 a^2.

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