(23.29) Mostre que o módulo máximo,
, do campo elétrico ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado ocorre em
e tem o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o campo elétrico máximo,
, ao longo do eixo de um anel uniformemente carregado acontece em
e que seu valor é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o campo elétrico gerado por um anel carregado e usar um pouco de cálculo para encontrar o ponto onde esse campo é máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico ao longo do eixo de um anel carregado. Imagine um anel de raio
carregado uniformemente com carga total
. Queremos saber o campo elétrico em um ponto
que está a uma distância
do centro do anel ao longo do seu eixo.
Para isso, usamos a fórmula do campo elétrico de um anel carregado:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, para encontrar onde esse campo elétrico é máximo, precisamos encontrar o valor de
que maximiza
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Vamos derivar
:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Isso nos leva a:
Passo 4
Agora que encontramos que o campo elétrico é máximo em
, vamos calcular o valor desse campo máximo substituindo
nessa expressão na fórmula do campo elétrico:
Simplificando mais:
Resposta
Portanto, o campo elétrico máximo ao longo do eixo do anel ocorre em
e tem o valor
.