a) x^2+3>0
b) x^2+x+1>0
c) x^2+x+1 <= 0
d) x^2+5 <= 0
e) (x-3)(x^2+5)>0
f) (2 x+1)(x^2+x+1)<0
g) x(x^2+1)>0
h) (1-x)(x^2+2 x+2) <= 0
i) 2 x-3x^2+1>0
j) xx^2+x+1>0

Passo 1

Resumo da questão: temos várias inequações envolvendo polinômios de segundo grau, produtos de fatores e razões racionais. O objetivo é determinar o conjunto-solução de cada uma usando discriminante e análise de sinal.

Passo 2

Para inequações puras do tipo ax^2+bx+c>0 ou <=0, usamos: calcule o coeficiente a e o discriminante De. Se a>0 e De, o polinômio é sempre positivo (logo >0 em R e nunca <=0); se a>0 e De0, o gráfico é uma parábola com raízes x1 e o sinal é positivo fora do intervalo (x1,x2) e negativo dentro.

Passo 3

Aplicando em (a) e (b):
  • (a) x^2+3: aqui a=1>0 e De, logo sempre >0. Solução: R.
  • (b) x^2+x+1: a=1>0,,De, sempre >0. Solução: R.

Passo 4

Em © e (d) temos polinômios sempre positivos, mas as desigualdades são <=0:
  • © x^2+x+1<=0 nunca ocorre. Solução vazia.
  • (d) x^2+5<=0 nunca ocorre. Solução vazia.

Passo 5

Para produtos do tipo f(x)g(x)>0 ou <0, identificamos as raízes de cada fator e montamos um quadro de sinais. Se um fator for sempre positivo, o sinal do produto fica igual ao do outro fator.

Passo 6

Aplicando em (e) a (h):
  • (e) (x-3)(x^2+5)>0. Como x^2+5>0 sempre, basta x-3>0 x>3.
  • (f) (2x+1)(x^2+x+1)<0. Como x^2+x+1>0 sempre, basta 2x+1<0 x< -tfrac12.
  • (g) x(x^2+1)>0. Como x^2+1>0 sempre, basta x>0.
  • (h) (1-x)(x^2+2x+2)<=0. Como x^2+2x+2>0 sempre, basta 1-x<=0 x>=1.

Passo 7

Para razões do tipo N(x)D(x)>0, lembramos que D(x)neq0. Se o denominador for sempre positivo, o sinal da fração segue o sinal do numerador.

Passo 8

Aplicando em (i) e (j):
  • (i) 2x-3x^2+1>0. Como x^2+1>0 sempre, basta 2x-3>0 x>tfrac32.
  • (j) xx^2+x+1>0. Como x^2+x+1>0 sempre, basta x>0.

Resposta

a) R
b) R
c) ∅
d) ∅
e) x>3
f) x< -tfrac12
g) x>0
h) x>=1
i) x>tfrac32
j) x>0

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