Considere o problema de valor inicial
4 y^prime prime+4 y^prime+y=0, y(0)=1, y^prime(0)=2
Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.

Passo 1

Estamos lidando com um problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
4y'' + 4y' + y = 0,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2. Para resolver, vamos usar a equação característica e o princípio de superposição.

Passo 2

Formamos a equação característica associada, substituindo y=e^rt:
4r^2 + 4r + 1 = 0
Calculando o discriminante, vemos que De, logo temos raiz dupla.

Passo 3

Como a equação característica tem raiz dupla r = -tfrac12, a solução geral da EDO é dada por
y(t) = (C1 + C2 t)e^-t/2,
pois no caso de multiplicidade 2 se adiciona o fator t no segundo termo.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, y(0)=1
y(0) = C1 e^0 = C1 = 1
Em seguida, calculamos y'(t):
y'(t) = -tfrac12(C1 + C2 t)e^-t/2 + C2 e^-t/2 = e^-t/2l(-tfracC12 + C2 - tfracC2 t2r)
Em t=0 isso vira
y'(0) = -tfracC12 + C2 = -tfrac12 + C2 = 2 implies C2 = tfrac52

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=5/2 na solução geral, obtemos a solução particular
y(t) = e^-t/2l(1 + tfrac52tr)
O gráfico dessa curva, para t>=0, começa em y(0)=1, cresce até um máximo em t=2 (pois y'(t)=0 em t=2, com valor y(2)=6e^-1approx2,21) e depois decai exponencialmente a zero quando ttoinfty.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(t) = e^-t/2l(1 + tfrac52tr)
O gráfico inicia em 1, atinge máximo em t=2 com y(2)=6e^-1approx2,21 e decai a zero para ttoinfty.

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