Considere o problema de valor inicial
Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
Passo 1
Estamos lidando com um problema de valor inicial de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes:
com condições iniciais
e
. Para resolver, vamos usar a equação característica e o princípio de superposição.
Passo 2
Formamos a equação característica associada, substituindo
:
Calculando o discriminante, vemos que
, logo temos raiz dupla.
Passo 3
Como a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da EDO é dada por
pois no caso de multiplicidade 2 se adiciona o fator
no segundo termo.
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro,
dá
Em seguida, calculamos
:
Em
isso vira
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular
O gráfico dessa curva, para
, começa em
, cresce até um máximo em
(pois
em
, com valor
) e depois decai exponencialmente a zero quando
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
O gráfico inicia em
, atinge máximo em
com
e decai a zero para
.