a) 5 x+2>x-6
b) 23 x-6 <= 2
c) 3-x<5+3 x
d) 2<4 x+2<9+4 x
e) 5x<34
f) x+12-x <= x3+x
g) 4 x^2-9 x<9
h) 1-x-2 x^2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema de desigualdades listadas de (a) a (h). O conteúdo envolve desigualdades lineares de primeiro grau, racionais e quadráticas. Para isso vamos usar técnicas como isolar a variável, transpor termos, fatorar polinômios e analisar o sinal de expressões racionais e quadráticas.

Passo 2

Para (a) temos a desigualdade 5x+2>x-6. Transpondo x e 2 para o mesmo lado, obtemos
5x - x > -6 - 2
4x > -8
Dividindo por 4 (positivo) não inverte a desigualdade:
x > -2.

Passo 3

Em (b) resolvemos tfrac23x - 6 <= 2. Somamos 6 aos dois lados:
tfrac23x <= 8
Multiplicando por tfrac32 (positivo) dá
x <= 12.

Passo 4

Para © partimos de 3 - x < 5 + 3x. Agrupando x de um lado:
-x - 3x < 5 - 3
-4x < 2
Multiplicando por -1) e invertendo o sinal:
4x > -2
x > -tfrac12.

Passo 5

Em (d) temos duplo limite:
2 < 4x+2 < 9+4x.
Primeiro, 2 < 4x+2 leva a 4x > 0 e x > 0.
Depois, 4x+2 < 9+4x simplifica para 2 < 9, sempre verdadeira. Logo o conjunto solução é
x > 0.

Passo 6

A desigualdade (e) é tfrac5x < tfrac34, com domínio xneq0. Fazemos análise de dois casos:
  • Se x>0, multiplicamos por x>0: 5 < tfrac34x implies x > tfrac203
    - Se x<0, multiplicamos por x<0 inverte o sinal:
    5 > tfrac34x implies x < tfrac203
Mas, para x<0, qualquer x<0 já satisfaz x<20/3. Portanto a solução é
(-infty,0)cupl(tfrac203,inftyr)

Passo 7

Em (f) resolvemos
x+12-x <= x3+x, xneq2,,xneq-3
Colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
x+12-x-x3+x <= 0
(x+1)(x+3)-x(2-x)(2-x)(3+x) <= 0
Numerador é 2x^2+2x+3, que é sempre positivo (discriminante negativo). Assim o sinal da fração segue o denominador (2-x)(3+x). Fazendo o quadro de sinais, obtemos denom < 0 em x<-3 e em x>2. Logo
(-infty,-3)cup(2,infty)

Passo 8

Para (g) trazemos tudo para um lado:
4x^2-9x<9implies4x^2-9x-9<0
O polinômio fatorado tem raízes
x=9pm158=3 ou -tfrac34
Como é parábola aberta para cima, ela fica negativa entre as raízes. Então
-tfrac34

Passo 9

Em (h) temos
1-x-2x^2>=0implies -2x^2-x+1>=0
Multiplicando por -1) e invertendo o sinal:
2x^2+x-1<=0
As raízes são
x=-1pm34=-1 e tfrac12
A parábola abre para cima, então a região onde fica <=0 é
-1<= x<= tfrac12

Resposta

a) x>-2
b) x<=12
c) x>-tfrac12
d) x>0
e) $ (-\infty,0)\cup(\tfrac{20}{3},\infty) $
f) $ (-\infty,-3)\cup(2,\infty) $
g) $ -\tfrac{3}{4}<x<3 $
h) $ [-1,\tfrac12] $

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