Exercício 5. Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=lang<= x,-z, yrang<= e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante, com n apontando paa cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo integral duplaS Fcdot n,dS de F(x,y,z)=lang<= x,-z,yrang<= sobre a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 no primeiro octante, com a normal voltada pra fora (que aqui coincide com ter componente z positiva). Vamos usar coordenadas esféricas e a definição de fluxo sobre superfície parametrizada.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 2 usando coordenadas esféricas: x=2sinphicostheta, y=2sinphisintheta, z=2cosphi, com 0<=phi<=tfracpi2 e 0<=theta<=tfracpi2. Nessa parametrização, o vetor normal unitário (para fora) é
n=l(sinphicostheta,,sinphisintheta,,cosphir),,
e o elemento de área da esfera é
[dS=R^2\sin\phi,d\phi,d\theta=4\sin\phi,d\phi,d\theta,.

Passo 3

Expressamos F em termos de phi,theta e computamos o produto escalar Fcdot n:
$$\mathbf F=\bigl(2\sin\phi\cos\theta,,-2\cos\phi,,2\sin\phi\sin\theta\bigr),
$$
[
\mathbf F\cdot\mathbf n=2\sin2\phi\cos2\theta-2\cos2\phi+2\sin2\phi\sin^2\theta
=2\sin2\phi-2\cos2\phi=-2\cos2\phi,.

Passo 4

Montamos a integral de superfície:
integral duplaS Fcdot n,dS= integraltheta=0^pi/2integralphi=0^pi/2(-2cos2phi),(4sinphi),dphi,dtheta = -8integral0^pi/2integral0^pi/2cos2phisinphi,dphi,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em theta, que dá pi/2 de comprimento, e depois em phi por substituição u=cosphi, resultando em
$$\int_{0}^{\pi/2}\cos2\phi\sin\phi,d\phi=-\frac13
$$
Logo a integral vale
[
-8\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)=\frac{4\pi}{3},.

Resposta

4pi3

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