Exercício 5. Calcule a integral
.
e
é a parte da esfera
no primeiro octante, com
apontando paa cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
de
sobre a parte da esfera
no primeiro octante, com a normal voltada pra fora (que aqui coincide com ter componente
positiva). Vamos usar coordenadas esféricas e a definição de fluxo sobre superfície parametrizada.
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio 2 usando coordenadas esféricas:
,
,
, com
e
. Nessa parametrização, o vetor normal unitário (para fora) é
e o elemento de área da esfera é
[dS=R^2\sin\phi,d\phi,d\theta=4\sin\phi,d\phi,d\theta,.
Passo 3
Expressamos
em termos de
e computamos o produto escalar
:
$$\mathbf F=\bigl(2\sin\phi\cos\theta,,-2\cos\phi,,2\sin\phi\sin\theta\bigr),
$$
[
\mathbf F\cdot\mathbf n=2\sin2\phi\cos2\theta-2\cos2\phi+2\sin2\phi\sin^2\theta
=2\sin2\phi-2\cos2\phi=-2\cos2\phi,.
[
\mathbf F\cdot\mathbf n=2\sin2\phi\cos2\theta-2\cos2\phi+2\sin2\phi\sin^2\theta
=2\sin2\phi-2\cos2\phi=-2\cos2\phi,.
Passo 4
Montamos a integral de superfície:
Passo 5
Integramos primeiro em
, que dá
de comprimento, e depois em
por substituição
, resultando em
$$\int_{0}^{\pi/2}\cos2\phi\sin\phi,d\phi=-\frac13
$$
Logo a integral vale
[
-8\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)=\frac{4\pi}{3},.
Logo a integral vale
[
-8\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)=\frac{4\pi}{3},.