Derive as funções
f(x)=(e^-x cos (2 x)1+e^x)^2

Passo 1

A função dada é f(x)=l(tfrace^-xcos(2x)1+e^xr)^2. Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, a regra do quociente e a regra do produto, além de saber que tfracddxe^-x=-e^-x e tfracddxcos(2x)=-2sin(2x).

Passo 2

Definimos g(x)=dfrace^-xcos(2x)1+e^x, de modo que f(x)=[g(x)]^2. Pela regra da cadeia temos
f'(x)=2,g(x),g'(x)

Passo 3

Para calcular g'(x), escrevemos g(x)=tfracu(x)v(x) com
u(x)=e^-xcos(2x), v(x)=1+e^x

Passo 4

Usamos a regra do produto para u(x):
u'(x)=ddx(e^-x)cos(2x)+e^-xddxcos(2x) =-e^-xcos(2x)-2e^-xsin(2x)

Passo 5

Derivando v(x) temos
v'(x)=ddx(1+e^x)=e^x

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
$$g’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}.
$$

Passo 7

Substituindo u,;u',;v,;v' e simplificando o numerador, obtemos
$$g’(x)=-\frac{(e{-x}+2)\cos(2x)+2(e{-x}+1)\sin(2x)}{(1+ex)2}.
$$

Passo 8

Finalmente, voltando em f'(x)=2g(x)g'(x) e simplificando:
f'(x)=-2e^-xcos(2x)1+e^xcdot(e^-x+2)cos(2x)+2(e^-x+1)sin(2x)(1+e^x)^2 =-2e^-xcos(2x)l[(e^-x+2)cos(2x)+2(e^-x+1)sin(2x)r](1+e^x)^3

Resposta

f'(x)=-2e^-xcos(2x)l[(e^-x+2)cos(2x)+2(e^-x+1)sin(2x)r](1+e^x)^3

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