23-56 Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=tg^-1 nn

Passo 1

A sequência dada é an=arctan(n)n. Vamos determinar se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar limntoinftyan.

Passo 2

Observamos que
limntoinftyarctan(n)=pi2
e
limntoinftyn=+infty.

Passo 3

Usamos o seguinte resultado de limites: se xnto L finito e ynto+infty, então
limntoinftyxnyn=0
Aqui temos xn=arctan(n) e yn=n, com L=pi2.

Passo 4

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limntoinftyan =limntoinftyarctan(n)n =0,
o que mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=0.

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