Calcule as derivadas parciais fx, fy, fx y, fx x e fy y; das funções
f(x, y)=tan (x y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=tan(xy)
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia (para tan(u)) e, quando surgir produto de funções de x ou de y, a regra do produto.

Passo 2

Para achar
fx=partialpartial xtan(xy),
aplicamos a regra da cadeia: se u=x y então ddutan(u)=sec^2(u) e partial upartial x=y. Logo
fx = sec^2(xy)cdot y = y,sec^2(xy)

Passo 3

De modo análogo, para
fy=partialpartial ytan(xy),
temos partial upartial y=x, daí
fy = sec^2(xy)cdot x = x,sec^2(xy)

Passo 4

Para a segunda derivada em x,
fxx=partialpartial xl(y,sec^2(xy)r),
tratamos y como constante e usamos produt o+cadeia:
partialpartial xsec^2(xy) =2,sec^2(xy)tan(xy)cdotpartial(xy)partial x =2,sec^2(xy)tan(xy),y
Multiplicando por y vem
fxx=ycdotl(2y,sec^2(xy)tan(xy)r) =2y^2,sec^2(xy)tan(xy)

Passo 5

Para a segunda derivada em y,
fyy=partialpartial yl(x,sec^2(xy)r),
o raciocínio é igual ao caso anterior trocando x por y:
fyy = xcdotl(2,sec^2(xy)tan(xy)cdotpartial(xy)partial yr) = xcdotl(2x,sec^2(xy)tan(xy)r) =2x^2,sec^2(xy)tan(xy)

Passo 6

Para a derivada mista
fxy=partialpartial yl(fxr) =partialpartial yl(y,sec^2(xy)r),
usa-se produto:
1. derivada de y é 1, dando sec^2(xy);
2. mais y vezes a derivada de sec^2(xy) em relação a y, que é
2,sec^2(xy)tan(xy)cdotpartial(xy)partial y =2,sec^2(xy)tan(xy),x
Somando,
fxy =sec^2(xy)+2xy,sec^2(xy)tan(xy)

Resposta

fx = y,sec^2(xy), fy = x,sec^2(xy),
fxx = 2y^2,sec^2(xy)tan(xy), fyy = 2x^2,sec^2(xy)tan(xy),
fxy = sec^2(xy) + 2xy,sec^2(xy)tan(xy)

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