23.61 - Uma casca esférica metálica de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio
e uma carga
. Determine ó campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas (a) para
; (b) para
; © para
. (d) Discuta o método que você usaria para determinar o modo como as cargas estão distribuídas nas superficies internas e externas das cascas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos duas cascas esféricas metálicas concêntricas:
- A primeira casca tem raio
e carga total . - A segunda casca tem raio
(onde ) e carga total .
Precisamos determinar o campo elétrico
em diferentes regiões determinadas pela distância
do centro dessas cascas:
a) Para
b) Para
c) Para
d) Discutir o método para determinar como as cargas estão distribuídas nas superfícies internas e externas das cascas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao fluxo elétrico através de uma superfície fechada. A Lei de Gauss é muito útil em situações de alta simetria, como esferas.
Passo 2
Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Para uma distribuição esférica de carga, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma mesma distância
do centro, e é radial. Isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Quando
, estamos dentro da primeira casca esférica.
- A primeira casca é metálica e tem espessura insignificante, então toda a carga
está na superfície externa. - Não há carga dentro da superfície gaussiana (dentro da casca).
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero.
Usando a Lei de Gauss:
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Agora,
está entre as duas cascas esféricas.
- A carga
está na primeira casca e está completamente dentro da superfície gaussiana. - A segunda casca está fora da superfície gaussiana, então sua carga
não está incluída.
A carga total dentro da superfície gaussiana é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss para
:
Agora,
está fora das duas cascas esféricas.
- Ambas as cargas
e estão dentro da superfície gaussiana.
A carga total dentro da superfície gaussiana é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 6
Discutindo a distribuição das cargas nas superfícies internas e externas das cascas:
Em cascas metálicas condutoras, as cargas livres se distribuem nas superfícies para minimizar a repulsão eletrostática. Especificamente:
- Na casca interna, como não há carga dentro dela (espaço vazio ou outro condutor), a carga induzida será igual e oposta à carga interna.
- Na casca externa, qualquer carga adicional além da metade interna se distribuirá uniformemente na superfície externa devido à simetria esférica.
Portanto, para determinar como as cargas estão distribuídas:
- Considere a simetria do sistema: Como as cascas são esféricas e concêntricas, as cargas se distribuem uniformemente.
- Use a Lei de Gauss para cada região: Isso ajuda a identificar se há cargas livres nas superfícies internas e externas.
- Implemente condições de contorno: As cargas devem se distribuir de maneira que o campo elétrico dentro do condutor seja zero.
Resposta
(a) Para
, o campo elétrico
.
(b) Para
, o campo elétrico
.
© Para
, o campo elétrico
.
(d) Utilizar a Lei de Gauss juntamente com a simetria esférica das cascas para determinar a distribuição uniforme das cargas nas superfícies internas e externas, garantindo que o campo elétrico dentro dos condutores seja nulo e que as cargas se distribuam de maneira a minimizar repulsões eletrostáticas.