23.61 - Uma casca esférica metálica de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b>a e uma carga q b. Determine ó campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas (a) para r; (b) para a; © para r>b. (d) Discuta o método que você usaria para determinar o modo como as cargas estão distribuídas nas superficies internas e externas das cascas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos duas cascas esféricas metálicas concêntricas:
  • A primeira casca tem raio e carga total .
  • A segunda casca tem raio (onde ) e carga total .
Precisamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões determinadas pela distância do centro dessas cascas:
a) Para
b) Para
c) Para
d) Discutir o método para determinar como as cargas estão distribuídas nas superfícies internas e externas das cascas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o campo elétrico ao fluxo elétrico através de uma superfície fechada. A Lei de Gauss é muito útil em situações de alta simetria, como esferas.

Passo 2

Entendendo a Lei de Gauss:
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo elétrico total PhiE = oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0 através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo :
Para uma distribuição esférica de carga, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos a uma mesma distância do centro, e é radial. Isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para PhiE = E cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 Rightarrow E = 0 :
Quando , estamos dentro da primeira casca esférica.
  • A primeira casca é metálica e tem espessura insignificante, então toda a carga está na superfície externa.
  • Não há carga dentro da superfície gaussiana (dentro da casca).
Portanto, a carga total dentro da superfície gaussiana é zero.
Usando a Lei de Gauss:

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss para PhiE = E cdot 4pi r^2 = qavarepsilon0 Rightarrow E = qa4pi varepsilon0 r^2 :
Agora, está entre as duas cascas esféricas.
  • A carga está na primeira casca e está completamente dentro da superfície gaussiana.
  • A segunda casca está fora da superfície gaussiana, então sua carga não está incluída.
A carga total dentro da superfície gaussiana é .
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss para PhiE = E cdot 4pi r^2 = qa + qbvarepsilon0 Rightarrow E = qa + qb4pi varepsilon0 r^2 :
Agora, está fora das duas cascas esféricas.
  • Ambas as cargas e estão dentro da superfície gaussiana.
A carga total dentro da superfície gaussiana é .
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 6

Discutindo a distribuição das cargas nas superfícies internas e externas das cascas:
Em cascas metálicas condutoras, as cargas livres se distribuem nas superfícies para minimizar a repulsão eletrostática. Especificamente:
  • Na casca interna, como não há carga dentro dela (espaço vazio ou outro condutor), a carga induzida será igual e oposta à carga interna.
  • Na casca externa, qualquer carga adicional além da metade interna se distribuirá uniformemente na superfície externa devido à simetria esférica.
Portanto, para determinar como as cargas estão distribuídas:
  1. Considere a simetria do sistema: Como as cascas são esféricas e concêntricas, as cargas se distribuem uniformemente.
  2. Use a Lei de Gauss para cada região: Isso ajuda a identificar se há cargas livres nas superfícies internas e externas.
  3. Implemente condições de contorno: As cargas devem se distribuir de maneira que o campo elétrico dentro do condutor seja zero.

Resposta

(a) Para , o campo elétrico .
(b) Para , o campo elétrico .
© Para , o campo elétrico .
(d) Utilizar a Lei de Gauss juntamente com a simetria esférica das cascas para determinar a distribuição uniforme das cargas nas superfícies internas e externas, garantindo que o campo elétrico dentro dos condutores seja nulo e que as cargas se distribuam de maneira a minimizar repulsões eletrostáticas.

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