Problemas Diversos
49 - Um quadro de 2 kg é pendurado através de dois fios de mesmo comprimento. Cada fio faz um ângulo
com a horizontal. (a) Determine a equação geral para a tração
, dado o ângulo
e o peso
do quadro. Qual é o ângulo
correspondente à menor força trativa
? Qual é o ângulo
correspondente à maior força trativa
? (b) Qual é o valor da força trativa atuante nos fios quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um quadro de 2 kg pendurado por dois fios que formam um ângulo
com a horizontal. A gente vai precisar usar conceitos de estática, que é a parte da física que estuda como os objetos estão em equilíbrio quando as forças se equilibram. A gente vai descobrir como calcular a força nos fios (tração
) em função do ângulo
e do peso do quadro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças atuando no quadro. O quadro tem um peso
, que é a força puxando para baixo devido à gravidade. Como são dois fios, cada um suporta uma parte desse peso.
A soma das forças na vertical deve ser zero porque o quadro está em equilíbrio. Então, a componente vertical da tração dos fios deve equilibrar o peso do quadro.
Matematicamente, isso fica assim:
Aqui, cada fio exerce uma força
formando um ângulo
com a horizontal, e
é a componente vertical dessa força.
Passo 3
Agora, precisamos isolar a tração
. Vamos fazer isso dividindo os dois lados da equação por
:
Mas, na verdade, o peso
é dado por
, onde
é a massa (2 kg) e
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
). Então:
Substituindo na equação de
:
Passo 4
Agora que temos a equação geral para
, vamos responder as próximas partes.
-
Menor força trativa
: A tração será mínima quando for máxima, já que é inversamente proporcional a . O máximo valor de é 1, que ocorre quando . Então: Portanto, o ângulo correspondente à menor tração é. -
Maior força trativa
: A tração será máxima quando for mínima. O menor valor de é 0, que ocorre quando . No entanto, se , os fios seriam horizontais e não sustentariam o quadro, o que não é possível na prática. Portanto, teoricamente, conforme se aproxima de , tende ao infinito. Mas, na prática, sempre haverá um ângulo pequeno onde será muito grande.
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber qual é a força trativa
quando
.
Usando a equação que encontramos:
Sabemos que
, então:
Resposta
(a) A equação geral para a tração é
. A menor força trativa ocorre quando
e a maior força trativa tende ao infinito quando
se aproxima de
.
(b) Quando , a força trativa
é de
.
(b) Quando