Problemas Diversos

49 - Um quadro de 2 kg é pendurado através de dois fios de mesmo comprimento. Cada fio faz um ângulo theta com a horizontal. (a) Determine a equação geral para a tração T, dado o ângulo theta e o peso w do quadro. Qual é o ângulo theta correspondente à menor força trativa T? Qual é o ângulo theta correspondente à maior força trativa T? (b) Qual é o valor da força trativa atuante nos fios quando theta=30^circ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um quadro de 2 kg pendurado por dois fios que formam um ângulo theta com a horizontal. A gente vai precisar usar conceitos de estática, que é a parte da física que estuda como os objetos estão em equilíbrio quando as forças se equilibram. A gente vai descobrir como calcular a força nos fios (tração T) em função do ângulo theta e do peso do quadro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças atuando no quadro. O quadro tem um peso w, que é a força puxando para baixo devido à gravidade. Como são dois fios, cada um suporta uma parte desse peso.
A soma das forças na vertical deve ser zero porque o quadro está em equilíbrio. Então, a componente vertical da tração dos fios deve equilibrar o peso do quadro.
Matematicamente, isso fica assim:
2T sin theta = w
Aqui, cada fio exerce uma força T formando um ângulo theta com a horizontal, e sin theta é a componente vertical dessa força.

Passo 3

Agora, precisamos isolar a tração T. Vamos fazer isso dividindo os dois lados da equação por 2 sin theta:
T = w2 sin theta
Mas, na verdade, o peso w é dado por w = m cdot g, onde m é a massa (2 kg) e g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 , m/s²²). Então:
w = 2 cdot 9,8 = 19,6 , N
Substituindo na equação de T:
T = 19,62 sin theta = 9,8sin theta

Passo 4

Agora que temos a equação geral para T, vamos responder as próximas partes.
  • Menor força trativa T: A tração T será mínima quando sin theta for máxima, já que T é inversamente proporcional a sin theta. O máximo valor de sin theta é 1, que ocorre quando theta = 90^circ. Então:
    Tmin = 9,81 = 9,8 , N
    Portanto, o ângulo correspondente à menor tração é theta = 90^circ.
  • Maior força trativa T: A tração T será máxima quando sin theta for mínima. O menor valor de sin theta é 0, que ocorre quando theta = 0^circ. No entanto, se theta = 0^circ, os fios seriam horizontais e não sustentariam o quadro, o que não é possível na prática. Portanto, teoricamente, conforme theta se aproxima de 0^circ, T tende ao infinito. Mas, na prática, sempre haverá um ângulo pequeno onde T será muito grande.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber qual é a força trativa T quando theta = 30^circ.
Usando a equação que encontramos:
T = 9,8sin 30^circ
Sabemos que sin 30^circ = 0,5, então:
T = 9,80,5 = 19,6 , N

Resposta

(a) A equação geral para a tração é T = dfracw2 sin theta. A menor força trativa ocorre quando theta = 90^circ e a maior força trativa tende ao infinito quando theta se aproxima de 0^circ.
(b) Quando theta = 30^circ, a força trativa T é de 19,6 , N.

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