3.23 Se B é somado a C^{2}=3,0 i+4,0 j, o resultado é um vetor com a orientação do semieixo positivo e um módulo iqual ao de \bar{C}. Qual é o módulo de \vec{B} ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Dado o vetor \vec{C} = 3,0\,\hat{i} + 4,0\,\hat{j}.
  • Sabemos que \vec{B} somado a \vec{C} produz um vetor que:
    • tem orientação do semieixo positivo (isto é, aponta ao longo do eixo x positivo);
    • e tem módulo igual ao módulo de \vec{C}.
  • Pergunta: Qual é o módulo de \vec{B}?

Passo 2

Primeiro, resumo a fórmula que vamos usar para módulos de vetores e explico as letras:
  • Se um vetor é \vec{v}=v_x\,\hat{i}+v_y\,\hat{j}, o seu módulo é dado por
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2},
onde v_x é a componente na direção x e v_y é a componente na direção y.
Agora calculo o módulo de \vec{C} usando a fórmula acima. As componentes são 3,0 e 4,0, então
|\vec{C}|=\sqrt{(3,0)^2+(4,0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Escrevo as componentes de \vec{B} com incógnitas para trabalhar com elas:
\vec{B}=B_x\,\hat{i}+B_y\,\hat{j},
onde B_x é a componente em x e B_y a componente em y.
A soma é
\vec{B}+\vec{C}=(B_x+3,0)\,\hat{i}+(B_y+4,0)\,\hat{j}.
A condição “orientação do semieixo positivo” significa que a componente y da soma é zero e a componente x é positiva. Portanto:
B_y+4,0=0 \quad\Rightarrow\quad B_y=-4,0.

Passo 4

A segunda condição é que o módulo de \vec{B}+\vec{C} é igual a |\vec{C}|, que já encontramos ser 5. Como \vec{B}+\vec{C} tem componente y zero, sua magnitude é o valor absoluto da componente x:
|\vec{B}+\vec{C}|=|B_x+3,0|.
Mas a orientação é no semieixo positivo, então B_x+3,0>0 e podemos escrever
B_x+3,0=5 \quad\Rightarrow\quad B_x=2,0.

Passo 5

Agora já temos as componentes de \vec{B}:
\vec{B}=2,0\,\hat{i}-4,0\,\hat{j}.
Calculamos o módulo usando a fórmula do Passo 2:
|\vec{B}|=\sqrt{(2,0)^2+(-4,0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Pequeno comentário amigo: vimos que a condição de “apontar para o semieixo positivo” nos deu a equação para zerar a componente y da soma, e a condição de igualdade de módulos fixou a componente x. Rapidinho resolve-se, e sem mistério — você consegue!

Resposta

2\sqrt{5}

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