Questão 3) (4 pontos) Considere uma região do espaço onde há um campo elétrico variável no tempo dado por:
E(t)=(100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}) \sin \left[\left(2 \pi \times 10^{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s}\right) \mathrm{t}\right]
Sabendo que o campo elétrico varia no tempo e gera um campo magnético induzido, determine o módulo do campo magnético B(t) induzido em um ponto situado a uma distância r=0,1 \mathrm{~m} do eixo central da região onde o campo elétrico está variando. (Obs: A regiāo onde o campo elétrico está variando possui um raio \mathrm{r}=0,1 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • Campo elétrico variável no tempo:
E(t) = (100\\ \mathrm{V/m})\sin\!\bigl[\bigl(2\pi\times 10^{6}\\ \mathrm{rad/s}\bigr)t\bigr].
  • A região onde esse campo elétrico varia tem raio r=0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Quer-se o módulo do campo magnético induzido B(t) em um ponto situado a distância r=0{,}1\\ \mathrm{m} do eixo central (ou seja, no contorno da região onde E varia).
Observações implícitas que vou usar (não peço nada a mais a você, apenas explico as suposições necessárias):
  • Assumo que o campo elétrico é axial e aproximadamente uniforme sobre a seção circular de raio indicado (situação padrão em exercícios deste tipo).
  • Não há corrente de condução atravessando a área (apenas o efeito de corrente de deslocamento será relevante).

Passo 2

Qual lei física vamos usar e por quê (aula leve e direta).
  • Quando o campo elétrico varia no tempo aparece um termo de “corrente de deslocamento” que gera campo magnético. A lei apropriada é a forma integral da lei de Ampère-Maxwell:
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}I_{\text{enc}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Expliquei cada símbolo:
  • \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} é a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada C.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}).
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica (de condução) que atravessa a superfície S limitada por C.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • \displaystyle \frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é a taxa de variação do fluxo elétrico através da superfície S (é o termo da corrente de deslocamento).
No nosso caso assumimos I_{\text{enc}}=0 (sem corrente de condução), então
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.

Passo 3

Escolha da simetria e do contorno (como aplicar a fórmula na prática).
  • Pela simetria (campo elétrico axial e uniforme na seção), o campo magnético induzido tem linhas fechadas em torno do eixo (direção azimutal \hat{\varphi}) e tem módulo constante em círculos concêntricos. Então escolha como curva C um círculo de raio r centrado no eixo.
  • Para esse circuito circular vale
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r),
onde B é o módulo do campo magnético no raio considerado.

Passo 4

Cálculo do fluxo elétrico e sua derivada temporal.
  • A superfície S que cierra C é o disco de raio r. Como E é axial e uniforme sobre a seção (suposição usada), o fluxo elétrico é
\Phi_E(t)=\int_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(t)\cdot \pi r^{2}.
  • Então sua derivada temporal é
\frac{d\Phi_E}{dt}=\pi r^{2}\frac{dE}{dt}.

Passo 5

Substituição na lei de Ampère-Maxwell e expressão geral.
  • Substituindo em \oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\dfrac{d\Phi_E}{dt} obtemos
B(2\pi r)=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\pi r^{2}\,\frac{dE}{dt}.
  • Isolando B:
B(t)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0} r}{2}\,\frac{dE}{dt}.
Essa é a expressão que dá o módulo do campo magnético induzido (direção azimutal, mas como o enunciado pediu o módulo, ficamos com este valor positivo/assinado conforme \dfrac{dE}{dt}).

Passo 6

Derivada de E(t) (cálculo direto).
  • Temos E(t)=100\sin(\omega t) com \omega=2\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Logo
\frac{dE}{dt}=100\,\omega\cos(\omega t).
Substituindo \omega:
\frac{dE}{dt}=100\cdot(2\pi\times10^{6})\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)=\bigl(2\pi\times10^{8}\bigr)\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)\\ \mathrm{V/(m\cdot s)}.

Passo 7

Substituindo tudo e simplificando simbolicamente.
  • Substituindo \dfrac{dE}{dt} em B(t)=\dfrac{\mu_{0}\varepsilon_{0} r}{2}\dfrac{dE}{dt}
B(t)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0} r}{2}\,\bigl(2\pi\times10^{8}\bigr)\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr).
  • O fator 1/2 cancela com o 2 multiplicando, ficando
B(t)=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r\,\pi\times10^{8}\,\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr).

Passo 8

Avaliação numérica (jaw-dropping small but honest).
  • Usamos \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2} e numericamente \mu_{0}\varepsilon_{0}\approx 1{,}11265\times10^{-17}\\ \mathrm{s^{2}/m^{2}}.
  • Com r=0{,}1\\ \mathrm{m} e \pi\times10^{8}\approx 3{,}1416\times10^{8} temos
B(t)\approx 1{,}11265\times10^{-17}\times 0{,}1 \times 3{,}1416\times10^{8}\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr).
  • Fazendo a conta:
B(t)\approx 3{,}50\times10^{-10}\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)\\ \mathrm{T}.

Passo 9

Interpretação final e módulo pedido.
  • Como o enunciado pede o módulo do campo magnético, o valor absoluto (módulo) é
|B(t)|\approx 3{,}50\times10^{-10}\,\bigl|\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)\bigr|\\ \mathrm{T}.
  • Se preferir, pode também citar a amplitude: o campo magnético tem amplitude 3{,}50\times10^{-10}\\ \mathrm{T} e oscila com a mesma frequência angular \omega=2\pi\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

|B(t)|\approx 3{,}50\times10^{-10}\,\bigl|\cos\bigl(2\pi\times10^{6}t\bigr)\bigr|\\ \mathrm{T}

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