Questão 3) (4 pontos) Considere uma região do espaço onde há um campo elétrico variável no tempo dado por:
Sabendo que o campo elétrico varia no tempo e gera um campo magnético induzido, determine o módulo do campo magnético
induzido em um ponto situado a uma distância
do eixo central da região onde o campo elétrico está variando. (Obs: A regiāo onde o campo elétrico está variando possui um raio
)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
- Campo elétrico variável no tempo:
- A região onde esse campo elétrico varia tem raio
. - Quer-se o módulo do campo magnético induzido
em um ponto situado a distância do eixo central (ou seja, no contorno da região onde varia).
Observações implícitas que vou usar (não peço nada a mais a você, apenas explico as suposições necessárias):
- Assumo que o campo elétrico é axial e aproximadamente uniforme sobre a seção circular de raio indicado (situação padrão em exercícios deste tipo).
- Não há corrente de condução atravessando a área (apenas o efeito de corrente de deslocamento será relevante).
Passo 2
Qual lei física vamos usar e por quê (aula leve e direta).
- Quando o campo elétrico varia no tempo aparece um termo de “corrente de deslocamento” que gera campo magnético. A lei apropriada é a forma integral da lei de Ampère-Maxwell:
Expliquei cada símbolo:
-
é a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada . -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a corrente elétrica (de condução) que atravessa a superfície limitada por . -
é a permissividade do vácuo ( ). -
é a taxa de variação do fluxo elétrico através da superfície (é o termo da corrente de deslocamento).
No nosso caso assumimos
(sem corrente de condução), então
Passo 3
Escolha da simetria e do contorno (como aplicar a fórmula na prática).
- Pela simetria (campo elétrico axial e uniforme na seção), o campo magnético induzido tem linhas fechadas em torno do eixo (direção azimutal
) e tem módulo constante em círculos concêntricos. Então escolha como curva um círculo de raio centrado no eixo. - Para esse circuito circular vale
onde
é o módulo do campo magnético no raio considerado.
Passo 4
Cálculo do fluxo elétrico e sua derivada temporal.
- A superfície
que cierra é o disco de raio . Como é axial e uniforme sobre a seção (suposição usada), o fluxo elétrico é
- Então sua derivada temporal é
Passo 5
Substituição na lei de Ampère-Maxwell e expressão geral.
- Substituindo em
obtemos
- Isolando
:
Essa é a expressão que dá o módulo do campo magnético induzido (direção azimutal, mas como o enunciado pediu o módulo, ficamos com este valor positivo/assinado conforme
).
Passo 6
Derivada de
(cálculo direto).
- Temos
com . - Logo
Substituindo
:
Passo 7
Substituindo tudo e simplificando simbolicamente.
- Substituindo
em dá
- O fator
cancela com o multiplicando, ficando
Passo 8
Avaliação numérica (jaw-dropping small but honest).
- Usamos
e numericamente . - Com
e temos
- Fazendo a conta:
Passo 9
Interpretação final e módulo pedido.
- Como o enunciado pede o módulo do campo magnético, o valor absoluto (módulo) é
- Se preferir, pode também citar a amplitude: o campo magnético tem amplitude
e oscila com a mesma frequência angular .