Duas cargas pontuais \mathrm{q}_{1}=9,1 \mathrm{nC} e \mathrm{q}_{2}=11,3 \mathrm{nC} estão separadas por uma distância de 1,2 \mathrm{~m}. Uma terceira carga de mesmo sinal das duas anteriores é colocada entre as cargas \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2} de modo que a força resultante sobre a carga 3 seja nula.
Calcule a distância entre a carga 1 e a carga 3.
Observação: A resposta deve ser escrita em metros com precisão de até 2 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei estes valores do enunciado):
  • Carga q_1 = 9,1\\ \mathrm{nC}.
  • Carga q_2 = 11,3\\ \mathrm{nC}.
  • Distância entre q_1 e q_2: d = 1,2\\ \mathrm{m}.
    A pergunta é: qual é a distância entre a carga q_1 e a carga q_3 (isto é, a posição x medida a partir de q_1), quando q_3 é colocada entre q_1 e q_2 de modo que a força resultante sobre q_3 seja nula?

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (aula rápida): a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada pela lei de Coulomb
F = k\,\frac{q_i q_j}{r^2},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui), q_i e q_j são as cargas e r é a distância entre elas. Para que a força resultante sobre q_3 seja nula, as duas forças exercidas por q_1 e por q_2 sobre q_3 devem ter mesma magnitude e sentidos opostos. Como todas as cargas têm o mesmo sinal, a força de q_1 sobre q_3 empurra q_3 para a direita e a de q_2 empurra q_3 para a esquerda. Portanto basta igualar as magnitudes.

Passo 3

Definição de variáveis geométricas: coloque q_1 em x=0, q_2 em x=d e q_3 em x com 0<x<d. A distância entre q_1 e q_3 é x (é o que pedem) e entre q_3 e q_2 é d-x.

Passo 4

Escrever o equilíbrio de magnitudes usando Coulomb e simplificar:
k\,\frac{q_1 q_3}{x^2}=k\,\frac{q_2 q_3}{(d-x)^2}.
Como k e q_3 aparecem em ambos os lados, eles se cancelam. Ficamos com
\frac{q_1}{x^2}=\frac{q_2}{(d-x)^2}.

Passo 5

Resolver a equação para x. Tomando raiz quadrada dos dois lados (todas quantidades positivas, portanto raiz positiva):
\frac{\sqrt{q_1}}{x}=\frac{\sqrt{q_2}}{d-x}.
Isolando x:
d-x = x\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}
d = x\Bigl(1+\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\Bigr)
x = \frac{d}{1+\sqrt{\dfrac{q_2}{q_1}}}.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (observe que as unidades de carga se cancelam na razão):
\frac{q_2}{q_1}=\frac{11,3}{9,1}\approx 1,2417582417582418.
Calcular a raiz:
\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\approx 1,114387\ldots
Portanto o denominador é
1+\sqrt{\frac{q_2}{q_1}}\approx 2,114387\ldots
e então
x=\frac{1,2}{2,114387\ldots}\approx 0,567615\ldots\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Arredondamento e interpretação curta (ânimo!): com duas casas decimais,
x \approx 0,57\\ \mathrm{m}.
Como q_2 é maior que q_1, o ponto de equilíbrio fica ligeiramente mais próximo de q_1 (a carga menor), o que bate com o valor encontrado.

Resposta

0,57\\ \mathrm{m}

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