23 Um calorímetro contém 50 g de água na fase líquida a 0^{\circ} \mathrm{C}. É introduzido no calorímetro 50 g de gelo à temperatura de -30^{\circ} \mathrm{C}. Determinar a quantidade de água que solidifica quando a temperatura atinge o equilíbrio, sabendo que o calorímetro não ganhar ou perder calor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados fornecidos:
    • Massa de água líquida inicial: m_w=50\\ \mathrm{g} à temperatura 0^\circ\mathrm{C}.
    • Massa de gelo inicial: m_i=50\\ \mathrm{g} à temperatura -30^\circ\mathrm{C}.
    • O calorímetro é isolado (não troca calor com o meio), logo a soma algébrica das trocas de calor entre água e gelo é zero.
  • O que se pede:
    • Determinar a quantidade de água que solidifica (ou seja, massa de líquido que vira gelo) quando o sistema atinge o equilíbrio térmico.

Passo 2

Observações físicas importantes (sem ainda calcular):
  • A água líquida inicial está à temperatura 0^\circ\mathrm{C}. Isso significa que ela só pode ceder calor congelando (isto é, passando de líquido a sólido) — enquanto houver água líquida, sua temperatura não baixa abaixo de 0^\circ\mathrm{C} sem congelamento adicional.
  • O gelo inicial está a -30^\circ\mathrm{C} e precisa absorver calor para aquecer até 0^\circ\mathrm{C}; se receber calor adicional, pode derreter.
  • Como a maior temperatura inicial é 0^\circ\mathrm{C}, a temperatura de equilíbrio não pode superar 0^\circ\mathrm{C}. Logo o equilíbrio será a 0^\circ\mathrm{C} com possivelmente coexistência de gelo e água líquida.
  • Portanto, o calor liberado pela solidificação de parte da água (se ocorrer) será usado para:
    1. aquecer o gelo de -30^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}, e possivelmente
    2. derreter parte do gelo (se houver calor sobrando).
  • Em termos práticos, é razoável primeiro verificar quanto de água precisa congelar apenas para aquecer todo o gelo até 0^\circ\mathrm{C}. Se isso for suficiente e não exceder a água disponível, então o restante simplesmente fica como gelo/água à 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Apresentação das fórmulas e constantes físicas que vamos usar, com explicação didática.
  • Calor necessário para aquecer uma massa m de uma substância com calor específico c de uma temperatura T_1 até T_2 ( T_2>T_1) é
Q = m\,c\,(T_2-T_1).
Aqui m em gramas, c em \mathrm{J/(g\,^\circ C)}, temperaturas em ^\circ\mathrm{C}, e Q em joules. Esse Q é positivo se a substância recebe calor.
  • Calor liberado/absorvido na fusão/solidificação (mudança de fase) de massa m é
Q = m\,L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão (em \mathrm{J/g}). Ao congelar m gramas de água líquida, a água libera mL_f de energia; ao derreter m gramas de gelo, o gelo absorve mL_f.
  • Constantes usadas (valores usuais de livro; estou usando-os explicitamente):
    • Calor específico do gelo: c_{\text{gelo}} = 2{,}1\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)}. (Significa que cada grama de gelo precisa de 2{,}1\\ \mathrm{J} para elevar 1 grau.)
    • Calor latente de fusão da água: L_f = 334\\ \mathrm{J/g}. (Significa que a fusão de 1 g de gelo requer 334\\ \mathrm{J}; inversamente, congelar 1 g libera 334\\ \mathrm{J}.)

Passo 4

Identificação dos processos térmicos e escrita da equação de balanço de energia.
Denotemos por m_s a massa de água líquida que solidifica (isto é, que congela) durante o processo. Denotemos por m_m a massa de gelo que eventualmente derrete. O sinal positivo em cada m significa que esse processo ocorreu (congelamento para m_s, fusão para m_m).
Termos de calor:
  • Calor liberado pela solidificação de m_s gramas de água:
Q_{\text{lib}} = m_s\,L_f.
  • Calor absorvido para aquecer todo o gelo de -30^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (a massa de gelo inicial é m_i=50\\ \mathrm{g}):
Q_{\text{aquecimento\_gelo}} = m_i\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-30)) = m_i\,c_{\text{gelo}}\,30.
  • Se parte do gelo derreter ( m_m gramas), o calor absorvido por fusão é
Q_{\text{fusão}} = m_m\,L_f.ã
Pela conservação da energia (calor total liberado = calor total absorvido), temos
m_s\,L_f = m_i\,c_{\text{gelo}}\,30 + m_m\,L_f.
Reescrevendo, isolando o termo de interesse,
(m_s - m_m)\,L_f = m_i\,c_{\text{gelo}}\,30.
Interpretação: a diferença m_s-m_m é a massa líquida que passou para sólido (congelou mais do que derreteu); essa massa líquida que virou sólido fornece a energia necessária para aquecer o gelo de -30^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Argumento físico que permite simplificar (ou seja, determinar m_m).
  • Inicialmente não existe água acima de 0^\circ\mathrm{C} que possa fornecer calor extra, portanto o único mecanismo de liberação de calor é o congelamento da própria água líquida inicial. Não há fonte externa de calor.
  • É fisicamente natural que parte da água congele até que o gelo quente (a -30^\circ\mathrm{C}) atinja 0^\circ\mathrm{C}. Não há motivo para que, simultaneamente, parte do gelo derreta ( m_m>0) nesse processo inicial — para que derreta seria preciso calor líquido adicional além do necessário para aquecer o gelo a 0^\circ\mathrm{C}; esse calor adicional só viria por congelamento de mais água, o que apenas aumenta m_s. Logo o cenário consistente e mínimo é ter m_m=0: nenhum gelo derrete, apenas parte da água congela para aquecer o gelo.
  • Assim podemos tomar m_m=0 e obter
m_s\,L_f = m_i\,c_{\text{gelo}}\,30.
(Essa escolha será checada depois para ver se m_s calculado é menor que a água disponível, o que confirmará que o cenário é consistente.)

Passo 6

Substituição numérica e cálculo passo a passo.
Valores:
m_i = 50\\ \mathrm{g},\qquad c_{\text{gelo}} = 2{,}1\\ \mathrm{J/(g\,^\circ C)},\qquad L_f = 334\\ \mathrm{J/g}.
Calor necessário para aquecer o gelo de -30^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}:
Q_{\text{aquecimento\_gelo}} = m_i\,c_{\text{gelo}}\,30 = 50 \times 2{,}1 \times 30.
Calcule passo a passo:
2{,}1 \times 30 = 63\quad(\mathrm{J/g}),
50 \times 63 = 3150\quad(\mathrm{J}).
Agora igualamos ao calor liberado por congelamento de m_s:
m_s\,L_f = 3150\quad\Rightarrow\quad m_s = \dfrac{3150}{L_f} = \dfrac{3150}{334}.
Dividindo:
m_s \approx 9{,}4311377\\ \mathrm{g}.
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
m_s \approx 9{,}43\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Verificação física da consistência da solução.
  • Checagem de limites:
    • m_s \le m_w? Temos m_s\approx 9{,}43\\ \mathrm{g} e m_w=50\\ \mathrm{g}. Sim, 9{,}43 < 50, logo é possível congelar essa massa sem esgotar toda a água.
    • m_m=0 \le m_i é também válido.
  • Estado final esperado: temperatura de equilíbrio 0^\circ\mathrm{C}. Massas finais:
    • Água líquida final: m_w - m_s = 50 - 9{,}43 \approx 40{,}57\\ \mathrm{g}.
    • Gelo final: m_i + m_s = 50 + 9{,}43 \approx 59{,}43\\ \mathrm{g}.
  • Tudo consistente: ambos os estados coexistem a 0^\circ\mathrm{C} e não há necessidade de fusão de gelo.

Resposta

9{,}43\\ \mathrm{g}

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