23 Um calorímetro contém 50 g de água na fase líquida a
. É introduzido no calorímetro 50 g de gelo à temperatura de
. Determinar a quantidade de água que solidifica quando a temperatura atinge o equilíbrio, sabendo que o calorímetro não ganhar ou perder calor.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dados fornecidos:
- Massa de água líquida inicial:
à temperatura . - Massa de gelo inicial:
à temperatura . - O calorímetro é isolado (não troca calor com o meio), logo a soma algébrica das trocas de calor entre água e gelo é zero.
- Massa de água líquida inicial:
- O que se pede:
- Determinar a quantidade de água que solidifica (ou seja, massa de líquido que vira gelo) quando o sistema atinge o equilíbrio térmico.
Passo 2
Observações físicas importantes (sem ainda calcular):
- A água líquida inicial está à temperatura
. Isso significa que ela só pode ceder calor congelando (isto é, passando de líquido a sólido) — enquanto houver água líquida, sua temperatura não baixa abaixo de sem congelamento adicional. - O gelo inicial está a
e precisa absorver calor para aquecer até ; se receber calor adicional, pode derreter. - Como a maior temperatura inicial é
, a temperatura de equilíbrio não pode superar . Logo o equilíbrio será a com possivelmente coexistência de gelo e água líquida. - Portanto, o calor liberado pela solidificação de parte da água (se ocorrer) será usado para:
- aquecer o gelo de
até , e possivelmente - derreter parte do gelo (se houver calor sobrando).
- aquecer o gelo de
- Em termos práticos, é razoável primeiro verificar quanto de água precisa congelar apenas para aquecer todo o gelo até
. Se isso for suficiente e não exceder a água disponível, então o restante simplesmente fica como gelo/água à .
Passo 3
Apresentação das fórmulas e constantes físicas que vamos usar, com explicação didática.
- Calor necessário para aquecer uma massa
de uma substância com calor específico de uma temperatura até ( ) é
Aqui
em gramas,
em
, temperaturas em
, e
em joules. Esse
é positivo se a substância recebe calor.
- Calor liberado/absorvido na fusão/solidificação (mudança de fase) de massa
é
onde
é o calor latente de fusão (em
). Ao congelar
gramas de água líquida, a água libera
de energia; ao derreter
gramas de gelo, o gelo absorve
.
- Constantes usadas (valores usuais de livro; estou usando-os explicitamente):
- Calor específico do gelo:
. (Significa que cada grama de gelo precisa de para elevar 1 grau.) - Calor latente de fusão da água:
. (Significa que a fusão de 1 g de gelo requer ; inversamente, congelar 1 g libera .)
- Calor específico do gelo:
Passo 4
Identificação dos processos térmicos e escrita da equação de balanço de energia.
Denotemos por
a massa de água líquida que solidifica (isto é, que congela) durante o processo. Denotemos por
a massa de gelo que eventualmente derrete. O sinal positivo em cada
significa que esse processo ocorreu (congelamento para
, fusão para
).
Termos de calor:
- Calor liberado pela solidificação de
gramas de água:
- Calor absorvido para aquecer todo o gelo de
até (a massa de gelo inicial é ):
- Se parte do gelo derreter (
gramas), o calor absorvido por fusão é
Pela conservação da energia (calor total liberado = calor total absorvido), temos
Reescrevendo, isolando o termo de interesse,
Interpretação: a diferença
é a massa líquida que passou para sólido (congelou mais do que derreteu); essa massa líquida que virou sólido fornece a energia necessária para aquecer o gelo de
até
.
Passo 5
Argumento físico que permite simplificar (ou seja, determinar
).
- Inicialmente não existe água acima de
que possa fornecer calor extra, portanto o único mecanismo de liberação de calor é o congelamento da própria água líquida inicial. Não há fonte externa de calor. - É fisicamente natural que parte da água congele até que o gelo quente (a
) atinja . Não há motivo para que, simultaneamente, parte do gelo derreta ( ) nesse processo inicial — para que derreta seria preciso calor líquido adicional além do necessário para aquecer o gelo a ; esse calor adicional só viria por congelamento de mais água, o que apenas aumenta . Logo o cenário consistente e mínimo é ter : nenhum gelo derrete, apenas parte da água congela para aquecer o gelo. - Assim podemos tomar
e obter
(Essa escolha será checada depois para ver se
calculado é menor que a água disponível, o que confirmará que o cenário é consistente.)
Passo 6
Substituição numérica e cálculo passo a passo.
Valores:
Calor necessário para aquecer o gelo de
até
:
Calcule passo a passo:
Agora igualamos ao calor liberado por congelamento de
:
Dividindo:
Arredondando com razoável precisão para duas casas decimais:
Passo 7
Verificação física da consistência da solução.
- Checagem de limites:
-
? Temos e . Sim, , logo é possível congelar essa massa sem esgotar toda a água. -
é também válido.
-
- Estado final esperado: temperatura de equilíbrio
. Massas finais: - Água líquida final:
. - Gelo final:
.
- Água líquida final:
- Tudo consistente: ambos os estados coexistem a
e não há necessidade de fusão de gelo.