17^{\circ} Uma placa vertical de 4 m de altura é mantida a 60^{\circ} \mathrm{C} em um ambiente a 10^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a taxa de calor na parede que tem comprimento de 10 m .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Dados do problema:
    • Altura da placa: 4\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura da placa (superfície): 60^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura do ambiente: 10^{\circ}\mathrm{C}.
    • Comprimento (largura) da parede/plaque: 10\\ \mathrm{m}.
  • Pergunta do enunciado:
    • Calcular a taxa de calor na parede (ou seja, a potência térmica perdida da placa para o ambiente).

Passo 2

Escolha do que é necessário para resolver (sem resolver ainda): para achar a taxa de calor precisamos de uma expressão do fluxo térmico entre a superfície da placa e o ar ambiente. Em problemas como este normalmente se usa a lei do resfriamento de Newton (convecção) escrita como
\dot{Q} = h\,A\,(T_s-T_\infty),
onde vou explicar cada termo com calma:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (potência térmica), em \mathrm{W}.
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. Esse coeficiente depende das propriedades do ar e do tipo de convecção (natural ou forçada). Aqui a placa está em ar parado do ambiente, então é convecção natural.
  • A é a área da superfície exposta ao ar, em \mathrm{m^2}.
  • T_s é a temperatura da superfície (aqui 60^{\circ}\mathrm{C}) e T_\infty é a temperatura do ambiente (aqui 10^{\circ}\mathrm{C}). A diferença T_s-T_\infty é o gradiente térmico que impulsiona a transferência de calor.
O passo-chave é estimar h para convecção natural numa placa vertical; para isso usamos correlações empíricas baseadas no número de Nusselt (\mathrm{Nu}) e no número de Rayleigh (\mathrm{Ra}). Vou mostrar essas fórmulas e calcular h.

Passo 3

Definições e fórmulas que vamos usar (com explicação):
  • Número de Prandtl:
\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha},
onde \nu é a viscosidade cinemática do fluido ( \mathrm{m^2/s}) e \alpha é a difusividade térmica ( \mathrm{m^2/s}). \mathrm{Pr} é adimensional e caracteriza a razão entre difusão de quantidade de movimento e difusão térmica.
  • Coeficiente de expansão térmica (ar ideal):
\beta \approx \frac{1}{T_\text{f}},
onde T_\text{f} é a temperatura filme em kelvin (média entre superfície e ambiente). \beta tem unidade \mathrm{K^{-1}}.
  • Número de Rayleigh baseado na altura L da chapa:
\mathrm{Ra}_L = \frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3}{\nu\,\alpha} = \frac{g\,\beta\,(T_s-T_\infty)\,L^3\,\mathrm{Pr}}{\nu^2},
onde g é a aceleração da gravidade.
  • Correlação de Nusselt para placa vertical (regime turbulento grande \mathrm{Ra}_L): para 10^9 \lesssim \mathrm{Ra}_L \lesssim 10^{13} uma correlação prática é
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}10\,\mathrm{Ra}_L^{1/3}.
  • Relação entre \mathrm{Nu}_L e h:
h = \frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L},
onde k é a condutividade térmica do ar (em \mathrm{W/(m\cdot K)}) e L é a altura característica (aqui a altura da placa).
Vou agora aplicar essas fórmulas com valores típicos do ar à temperatura filme. Obs.: escolhi usar essas correlações porque a placa é vertical e o ar está em repouso (convecção natural) — essas são as correlações padrão em transferência de calor.

Passo 4

Calcular a temperatura filme e pegar propriedades do ar (valores típicos à temperatura filme; estou explicitando que usei valores tabulados aproximados para o ar a 35^{\circ}\mathrm{C}, ou seja (60+10)/2):
  • Temperatura filme:
T_\text{f} = \frac{60+10}{2} = 35^{\circ}\mathrm{C} = 308\\ \mathrm{K}.
Valores típicos do ar à 35^{\circ}\mathrm{C} (aproximados, usados para estimativa):
  • \nu \approx 1{,}68\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} (viscosidade cinemática),
  • \mathrm{Pr} \approx 0{,}71,
  • k \approx 0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (condutividade térmica).
Coeficiente volumétrico térmico (para ar ideal):
\beta \approx \frac{1}{T_\text{f}} = \frac{1}{308}\\ \mathrm{K^{-1}} \approx 0{,}0032468\\ \mathrm{K^{-1}}.
Agora os dados numéricos do problema em TeX:
  • L = 4\\ \mathrm{m} (altura da placa),
  • \Delta T = T_s-T_\infty = 60-10 = 50\\ \mathrm{K},
  • g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Cálculo do número de Rayleigh \mathrm{Ra}_L. Usando a forma com \mathrm{Pr} e \nu:
\mathrm{Ra}_L = \frac{g\,\beta\,\Delta T\,L^3\,\mathrm{Pr}}{\nu^2}.
Substituindo números (mostrando as contas):
g\,\beta\,\Delta T = 9{,}81\times 0{,}0032468 \times 50 \approx 1{,}5926,
L^3 = 4^3 = 64,
\nu^2 = (1{,}68\times 10^{-5})^2 = 2{,}8224\times 10^{-10}.
Logo
\mathrm{Ra}_L \approx \frac{1{,}5926 \times 64 \times 0{,}71}{2{,}8224\times 10^{-10}} \approx \frac{72{,}36}{2{,}8224\times 10^{-10}} \approx 2{,}56\times 10^{11}.
Observação rápida: esse \mathrm{Ra}_L é muito grande (maior que 10^9), então estamos na faixa onde a correlação turbulenta \mathrm{Nu}_L \approx 0{,}10\,\mathrm{Ra}_L^{1/3} é apropriada.

Passo 6

Cálculo do número de Nusselt médio e do coeficiente h.
Primeiro \mathrm{Ra}_L^{1/3}:
\mathrm{Ra}_L^{1/3} = (2{,}56\times 10^{11})^{1/3} \approx 6{,}38\times 10^{3}.
Então
\mathrm{Nu}_L \approx 0{,}10 \times 6{,}38\times 10^{3} \approx 638{,}.
Agora
h = \frac{\mathrm{Nu}_L\,k}{L} = \frac{638 \times 0{,}0263}{4} \approx \frac{16{,}79}{4} \approx 4{,}20\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Explicando: esse valor de h é um valor estimado para convecção natural do ar em torno de uma placa vertical com as dimensões e diferença de temperatura dadas. É razoável para ar em convecção natural (ordem de 1 a 10\\ \mathrm{W/m^2K}).

Passo 7

Cálculo da área da parede exposta e da taxa de calor \dot{Q}.
Área:
A = \text{altura}\times\text{comprimento} = 4\\ \mathrm{m} \times 10\\ \mathrm{m} = 40\\ \mathrm{m^2}.
Aplicando a lei de Newton:
\dot{Q} = h\,A\,\Delta T = 4{,}20 \times 40 \times 50 = 4{,}20 \times 2000 = 8393{,}4\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática:
\dot{Q} \approx 8{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 8

Cheque de plausibilidade e comentário final:
  • Ordem de grandeza: alguns quilowatts — faz sentido para uma grande superfície de 40\\ \mathrm{m^2} com \Delta T=50\\ \mathrm{K}.
  • Resultado depende das propriedades do ar e da correlação escolhida; usando propriedades um pouco diferentes ou outra correlação a resposta pode variar um pouco (por exemplo 7 10\\ \mathrm{kW}), mas a estimativa \approx 8{,}4\\ \mathrm{kW} é adequada para prova e cálculos rápidos.

Resposta

\dot{Q} \approx 8{,}4\\ \mathrm{kW}

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