25^{\circ} Em um tubo, com D _{\text {ext }}=70 \mathrm{~mm} e espessura de 5 mm , escoa óleo e a temperatura interna do tubo é 80^{\circ} \mathrm{C}. Esse tubo deve ser recoberto por um isolante, com \mathrm{k}=0,25 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sendo o hexterno =30 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente de 25^{\circ} \mathrm{C}.
a) Justifique se é conveniente isolar o tubo.
b) Qual perda de calor no tubo com 15 mm de espessura do isolante.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Justificar se é conveniente isolar o tubo.
  • (b) Calcular a perda de calor no tubo com 15\\ \mathrm{mm} de espessura do isolante.
Dados fornecidos (vou listar todos, com unidades):
  • Diâmetro externo do tubo: D_{\text{ext}}=70\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura da parede do tubo: 5\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura interna do tubo (temperatura do fluido ou da parede interna considerada): T_i=80^{\circ}\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do isolante: k=0,25\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot{}^\circ C^{-1}}.
  • Coeficiente de convecção externo: h_{\text{ext}}=30\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot{}^\circ C^{-1}}.
  • Temperatura ambiente: T_\infty=25^{\circ}\mathrm{C}.
  • Espessura do isolante para (b): t_{\text{isol}}=15\\ \mathrm{mm}.
Observação implícita (necessária para resolver): não foi fornecida a condutividade do metal nem o coeficiente de convecção interno; adotarei a aproximação usual para este tipo de problema de isolamento de dutos: a resistência térmica do metal é muito pequena frente à do isolante e a convecção externa, e a temperatura interna pode ser tomada como T_i dada. Assim o caminho térmico principal é condução radial no isolante + convecção na superfície externa do isolante. A perda de calor será calculada por unidade de comprimento do tubo (W por metro), já que o enunciado não informa comprimento.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta, didática e sem jargões): para problemas com isolamento cilíndrico a maneira prática é usar resistências térmicas em série. A ideia é que a diferença de temperatura entre o fluido (ou a parede interna) e o ambiente gera um fluxo de calor que encontra “obstáculos”: primeiro a condução radial através do isolante e depois a convecção na superfície externa. Cada obstáculo tem uma resistência térmica. A perda de calor por unidade de comprimento é a diferença de temperatura dividida pela soma dessas resistências. Essa é a forma mais direta e apropriada aqui.

Passo 3

Fórmula da resistência por condução radial em um cilindro (ensino passo a passo):
  • Considere um cilindro com raio interno r_1 e raio externo do isolante r_2, comprimento L (aqui usamos L=1\\ \mathrm{m} para obter W por metro).
  • A resistência térmica à condução radial no isolante é dada por
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k L}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
  • Explicando cada símbolo:
    • R_{\text{cond}} é a resistência térmica (em \mathrm{K/W}) associada à condução radial.
    • k é a condutividade térmica do isolante (aqui 0,25\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot{}^\circ C^{-1}}).
    • L é o comprimento considerado (aqui 1\\ \mathrm{m}).
    • \ln é o logaritmo natural.
    • r_1 é o raio da superfície interna (a superfície externa do tubo metálico).
    • r_2 é o raio externo do isolante (superfície de convecção).

Passo 4

Fórmula da resistência por convecção na superfície cilíndrica:
  • A resistência térmica de convecção na superfície externa do isolante é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_2 L h_{\text{ext}}}.
  • Onde:
    • R_{\text{conv}} está em \mathrm{K/W}.
    • r_2 é o raio externo do isolante (mesmo do item anterior).
    • h_{\text{ext}} é o coeficiente de convecção externo.
    • L é o comprimento (usamos 1\\ \mathrm{m}).

Passo 5

Determinar os raios numéricos a partir dos dados:
  • Diâmetro externo do tubo: D_{\text{ext}}=70\\ \mathrm{mm}=0{,}070\\ \mathrm{m}. Portanto o raio externo do tubo é
r_{\text{o\,(tubo)}}=\frac{D_{\text{ext}}}{2}=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • A espessura do isolante dada para (b) é t_{\text{isol}}=15\\ \mathrm{mm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • Assim o raio externo do isolante é
r_2 = r_{\text{o\,(tubo)}} + t_{\text{isol}} = 0{,}035 + 0{,}015 = 0{,}050\\ \mathrm{m}.
  • O raio interno para a condução no isolante (a face do tubo) é r_1 = r_{\text{o\,(tubo)}} = 0{,}035\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular R_{\text{cond}} passo a passo (usar L=1\\ \mathrm{m}):
  • Primeiro calcule o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}050}{0{,}035}\right)=\ln(1{,}428571\ldots)=0{,}3566749\ldots
  • Agora aplique a fórmula com k=0{,}25\\ \mathrm{W\cdot m^{-1}\cdot{}^\circ C^{-1}}:
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}25\cdot 1}\times 0{,}3566749\ldots =\frac{0{,}3566749\ldots}{1{,}5707963\ldots}=0{,}22719\\ \mathrm{K/W}.

Passo 7

Calcular R_{\text{conv}} passo a passo:
  • Use r_2=0{,}050\\ \mathrm{m}, h_{\text{ext}}=30\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot{}^\circ C^{-1}}, L=1\\ \mathrm{m}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}050\cdot 1\cdot 30} =\frac{1}{9{,}42477796\ldots}=0{,}10610\\ \mathrm{K/W}.

Passo 8

Resistência total e perda de calor por metro:
  • Resistência total (condução no isolante + convecção externa):
R_{\text{total}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}=0{,}22719+0{,}10610=0{,}33329\\ \mathrm{K/W}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_\infty = 80^{\circ}\mathrm{C} - 25^{\circ}\mathrm{C} = 55^{\circ}\mathrm{C}.
  • Fluxo por unidade de comprimento q' (W por metro):
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{55}{0{,}33329}=165{,}03\\ \mathrm{W/m}.
Arredondando convenientemente: q'\approx 165{,}0\\ \mathrm{W/m}.

Passo 9

Calcular a perda de calor sem isolante (para justificar se compensa isolar):
  • Sem isolante a superfície exposta tem raio r_{\text{bare}}=0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • A resistência de convecção do tubo nu é
R_{\text{conv,\,bare}}=\frac{1}{2\pi r_{\text{bare}} L h_{\text{ext}}} =\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}035\cdot 1\cdot 30} =\frac{1}{6{,}59734457\ldots}=0{,}15152\\ \mathrm{K/W}.
  • Fluxo por metro sem isolante:
q'_{\text{bare}}=\frac{55}{0{,}15152}=362{,}99\\ \mathrm{W/m}\approx 363{,}0\\ \mathrm{W/m}.

Passo 10

Comparação e justificativa (resultado didático):
  • Com isolante de 15\\ \mathrm{mm}: q'\approx 165{,}0\\ \mathrm{W/m}.
  • Sem isolante: q'_{\text{bare}}\approx 363{,}0\\ \mathrm{W/m}.
  • Economia de energia por metro:
\Delta q' = 363{,}0 - 165{,}0 = 198{,}0\\ \mathrm{W/m}.
  • Redução percentual aproximada:
\frac{198{,}0}{363{,}0}\times 100\% \approx 54{,}6\%.
  • Conclusão (resumida e motivadora): sim, isolar é conveniente — o isolante de 15\\ \mathrm{mm} reduz a perda de calor por metro em mais da metade, resultando em economia energética significativa.

Resposta

(a) Sim. Com 15\\ \mathrm{mm} de isolante a perda de calor por metro cai cerca de 54{,}6\%, reduzindo de 363{,}0\\ \mathrm{W/m} (tubo nu) para 165{,}0\\ \mathrm{W/m} (tubo isolado).
(b) Perda de calor com 15\\ \mathrm{mm} de isolante: \;165{,}0\\ \mathrm{W/m}.

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