9-31 Two velocity components of a steady, incompressible flow field are known:
and
, where
, and
are constants. Velocity component
is missing. Generate an expression for
as a function of
, and
.
Passo 1
O enunciado fornece as componentes de velocidade (funções de
) e pede encontrar a componente
em função de
. As informações dadas são:
-
, onde são constantes; -
; -
é desconhecida e deve ser determinada como função de .
A tarefa é gerar uma expressão paracompatível com as informações acima.
Passo 2
Para um fluido incompressível (e campo de velocidade bem comportado), a condição matemática que as componentes de velocidade devem satisfazer é a equação da continuidade em regime estacionário, que expressa divergência nula do campo de velocidade:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
,
é a derivada parcial de
em relação a
e
é a derivada parcial de
em relação a
. Essa equação impõe que a soma das taxas de variação das três componentes ao longo de seus eixos seja zero.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias a partir das expressões fornecidas.
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo (tratando
como constante ao derivar em
):
Derivada parcial de
em relação a
:
Derivando termo a termo (tratando
e
como constantes ao derivar em
):
Passo 4
Substituir
e
na equação da continuidade e isolar
:
Simplificando:
Passo 5
Integrar a expressão de
em relação a
para obter
. Ao integrar em relação a
, aparece uma “constante” de integração que pode depender de
e
(pois a derivada em
de qualquer função que dependa só de
e
é zero). Assim:
onde
é uma função arbitrária de
e
.
Calcular a integral termo a termo:
Portanto
Passo 6
Interpretação da função
: sem condições de contorno adicionais (por exemplo, valor de
em uma superfície, comportamento no infinito, simetria, etc.),
não é determinada pela equação da continuidade — ela representa graus de liberdade que dependem apenas de
e
. Em problemas práticos costuma-se determinar
a partir de condições do problema (por exemplo, impor
resulta em
se essa condição for aplicada).
Passo 7
Verificação rápida: calcular
da solução encontrada para confirmar que a continuidade é satisfeita:
o que coincide com a expressão obtida no Passo 4. Logo a solução é consistente.