9-31 Two velocity components of a steady, incompressible flow field are known: u=2 a x+b x y+c y^{2} and v=a x z-b y z^{2}, where a, b, and c are constants. Velocity component w is missing. Generate an expression for w as a function of x, y, and z.

Passo 1

O enunciado fornece as componentes de velocidade (funções de x,y,z) e pede encontrar a componente w em função de x,y,z. As informações dadas são:
  • u=2a x + b x y + c y^{2}, onde a,b,c são constantes;
  • v=a x z - b y z^{2};
  • w é desconhecida e deve ser determinada como função de x,y,z.
    A tarefa é gerar uma expressão para w(x,y,z) compatível com as informações acima.

Passo 2

Para um fluido incompressível (e campo de velocidade bem comportado), a condição matemática que as componentes de velocidade devem satisfazer é a equação da continuidade em regime estacionário, que expressa divergência nula do campo de velocidade:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Aqui \partial u/\partial x é a derivada parcial de u em relação a x, \partial v/\partial y é a derivada parcial de v em relação a y e \partial w/\partial z é a derivada parcial de w em relação a z. Essa equação impõe que a soma das taxas de variação das três componentes ao longo de seus eixos seja zero.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias a partir das expressões fornecidas.
Derivada parcial de u em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2a x + b x y + c y^{2}\bigr).
Derivando termo a termo (tratando y como constante ao derivar em x):
\frac{\partial u}{\partial x}=2a + b y.
Derivada parcial de v em relação a y:
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(a x z - b y z^{2}\bigr).
Derivando termo a termo (tratando x e z como constantes ao derivar em y):
\frac{\partial v}{\partial y}=0 - b z^{2} = -b z^{2}.

Passo 4

Substituir \partial u/\partial x e \partial v/\partial y na equação da continuidade e isolar \partial w/\partial z:
\frac{\partial w}{\partial z} = -\biggl(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\biggr) = -\bigl(2a + b y + (-b z^{2})\bigr).
Simplificando:
\frac{\partial w}{\partial z} = -2a - b y + b z^{2}.

Passo 5

Integrar a expressão de \partial w/\partial z em relação a z para obter w. Ao integrar em relação a z, aparece uma “constante” de integração que pode depender de x e y (pois a derivada em z de qualquer função que dependa só de x e y é zero). Assim:
w(x,y,z)=\int\!\left(-2a - b y + b z^{2}\right)\,dz + \varphi(x,y),
onde \varphi(x,y) é uma função arbitrária de x e y.
Calcular a integral termo a termo:
\int(-2a)\,dz = -2a z,
\int(-b y)\,dz = -b y z \quad(\text{pois }y\text{ é tratado como constante}),é
\int b z^{2}\,dz = b\frac{z^{3}}{3}.
Portanto
w(x,y,z) = -2a z - b y z + \frac{b}{3} z^{3} + \varphi(x,y).

Passo 6

Interpretação da função \varphi(x,y): sem condições de contorno adicionais (por exemplo, valor de w em uma superfície, comportamento no infinito, simetria, etc.), \varphi(x,y) não é determinada pela equação da continuidade — ela representa graus de liberdade que dependem apenas de x e y. Em problemas práticos costuma-se determinar \varphi(x,y) a partir de condições do problema (por exemplo, impor w(x,y,0)=0 resulta em \varphi(x,y)=0 se essa condição for aplicada).

Passo 7

Verificação rápida: calcular \partial w/\partial z da solução encontrada para confirmar que a continuidade é satisfeita:
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(-2a z - b y z + \frac{b}{3} z^{3} + \varphi(x,y)\right) = -2a - b y + b z^{2},
o que coincide com a expressão obtida no Passo 4. Logo a solução é consistente.

Resposta

w(x,y,z)=-2a z - b y z + \dfrac{b}{3}z^{3} + \varphi(x,y)

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