2.23* Determine a velocidade limite no ar para (a) uma bola de aço de diâmetro 3 mm , (b) um tiro de 16 libras e (c) um paraquedista de 200 libras em queda livre na posição fetal. Em todos os casos, você pode seguramente assumir que a força de arrasto é puramente quadrática. A densidade do aco é
e pode-se considerar o paraquedista como uma esfera de densidade
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado\n
- Pedem a velocidade limite (velocidade terminal) no ar para três casos:
(a) uma bola de aço de diâmetro,
(b) um tiro (esfera) de massalibras,
(c) um paraquedista de massalibras, em posição fetal. - Informações fornecidas que vamos usar:
- densidade do aço
(vou converter para SI adiante); - para o paraquedista, considerar como esfera de densidade
.
- densidade do aço
- Informação implícita / aproximações necessárias (não fornecidas no enunciado, adotadas para calcular):
- densidade do ar
(valor típico ao nível do mar); - coeficiente de arrasto para esfera
(valor usual para esfera em regime de arrasto quadrático); - aceleração da gravidade
.
- densidade do ar
- O enunciado diz que o arrasto é puramente quadrático (força de arrasto proporcional a
). A pergunta é única: calcular para cada caso.
Passo 2
Princípio físico e fórmula geral (aula rápida)\n
- Em queda com arrasto quadrático para uma esfera, na velocidade terminal as forças verticais se equilibram: peso para baixo igual à força de arrasto para cima. Ou seja,
- A expressão para a força de arrasto quadrático é
onde:
-
é a massa do corpo (em kg), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o coeficiente de arrasto (adotado para esfera), -
é a densidade do ar ( ), -
é a área de seção transversal da esfera ( ), -
é a velocidade relativa do ar (aqui, a velocidade de queda). - Igualando
e e resolvendo para a velocidade terminal obtém-se
- Observação prática: para usar essa fórmula precisamos conhecer
(ou calculá-la a partir da densidade e volume) e a área . Para esferas, o volume é
e a área de seção é
. Sempre trabalhar em unidades SI (kg, m, s).
Passo 3
Caso (a) — bola de aço de diâmetro
\n
- Converter dados para SI e calcular massa:\n
- diâmetro
, logo raio . - densidade do aço
. - volume da esfera
- diâmetro
- massa
- área de seção transversal
- aplicar a fórmula de
:
- calcular numericamente (passo a passo):
-
. -
. - razão
. -
-
Passo 4
Caso (b) — tiro/esfera de massa
libras (usar densidade do aço)\n
- converter massa para SI:\n
-
, logo
-
- com
, volume
- obter o raio da esfera a partir de
:
- área de seção
- aplicar fórmula:
- calcular numericamente:
-
. -
. - razão
. -
-
Passo 5
Caso (c) — paraquedista de
libras, esfera de densidade
\n
- converter massa para SI:
- densidade adotada
. Volume da esfera
- raio
(observe que isso representa uma esfera com diâmetro
, é uma aproximação geométrica do corpo humano no enunciado)
- área de seção
- aplicar fórmula:
- calcular numericamente:
-
. -
. - razão
. -
-
Passo 6
Comentários finais rápidos e incentivo\n
- Os resultados dependem das aproximações adotadas: valor da densidade do ar e, principalmente, do coeficiente de arrasto
e da modelagem geométrica (tratar uma pessoa como esfera é grosseiro). Mudanças nessas suposições alteram as velocidades numéricas. - Bom trabalho por enfrentar essa questão — o procedimento é sempre o mesmo: obter
e e usar . Com esse passo a passo dá para aplicar a qualquer objeto da prova!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)