2.23* Determine a velocidade limite no ar para (a) uma bola de aço de diâmetro 3 mm , (b) um tiro de 16 libras e (c) um paraquedista de 200 libras em queda livre na posição fetal. Em todos os casos, você pode seguramente assumir que a força de arrasto é puramente quadrática. A densidade do aco é 8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e pode-se considerar o paraquedista como uma esfera de densidade 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • Pedem a velocidade limite (velocidade terminal) no ar para três casos:
    (a) uma bola de aço de diâmetro \,3\\ \mathrm{mm},
    (b) um tiro (esfera) de massa 16 libras,
    (c) um paraquedista de massa 200 libras, em posição fetal.
  • Informações fornecidas que vamos usar:
    • densidade do aço \rho_{\text{aço}}=8\\ \mathrm{g/cm^{3}}ç (vou converter para SI adiante);
    • para o paraquedista, considerar como esfera de densidade \rho_{\text{p}}=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Informação implícita / aproximações necessárias (não fornecidas no enunciado, adotadas para calcular):
    • densidade do ar \rho_{\text{ar}}=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico ao nível do mar);
    • coeficiente de arrasto para esfera C_{d}=0{,}47 (valor usual para esfera em regime de arrasto quadrático);
    • aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O enunciado diz que o arrasto é puramente quadrático (força de arrasto proporcional a v^{2}). A pergunta é única: calcular \,v_{\text{limite}} para cada caso.

Passo 2

Princípio físico e fórmula geral (aula rápida)\n
  • Em queda com arrasto quadrático para uma esfera, na velocidade terminal as forças verticais se equilibram: peso para baixo igual à força de arrasto para cima. Ou seja,
mg = F_{\text{arrasto}}.
  • A expressão para a força de arrasto quadrático é
F_{\text{arrasto}} = \tfrac{1}{2}\,C_{d}\,\rho_{\text{ar}}\,A\,v^{2},
onde:
  • m é a massa do corpo (em kg),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • C_{d} é o coeficiente de arrasto (adotado 0{,}47 para esfera),
  • \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar ( 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
  • A é a área de seção transversal da esfera ( A=\pi r^{2}),
  • v é a velocidade relativa do ar (aqui, a velocidade de queda).
  • Igualando mg e F_{\text{arrasto}} e resolvendo para a velocidade terminal v_{t} obtém-se
v_{t}=\sqrt{\frac{2mg}{C_{d}\,\rho_{\text{ar}}\,A}}.
  • Observação prática: para usar essa fórmula precisamos conhecer m (ou calculá-la a partir da densidade e volume) e a área A. Para esferas, o volume é
V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3},
e a área de seção é A=\pi r^{2}. Sempre trabalhar em unidades SI (kg, m, s).

Passo 3

Caso (a) — bola de aço de diâmetro \,3\\ \mathrm{mm}\n
  • Converter dados para SI e calcular massa:\n
    • diâmetro \,D=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}, logo raio \,r=\tfrac{D}{2}=0{,}0015\\ \mathrm{m}.
    • densidade do aço \rho_{\text{aço}}=8\\ \mathrm{g/cm^{3}}=8000\\ \mathrm{kg/m^{3}}ç.
    • volume da esfera
V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\tfrac{4}{3}\pi(0{,}0015)^{3}\approx 1{,}4137\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • massa
m=\rho_{\text{aço}}\,V=8000\times1{,}4137\times10^{-8}\approx1{,}131\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.ç
  • área de seção transversal
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}0015)^{2}\approx7{,}069\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • aplicar a fórmula de v_{t}:
v_{t}=\sqrt{\frac{2 m g}{C_{d}\,\rho_{\text{ar}}\,A}} =\sqrt{\frac{2\times(1{,}131\times10^{-4})\times9{,}8}{0{,}47\times1{,}2\times7{,}069\times10^{-6}}}.
  • calcular numericamente (passo a passo):
    • 2mg = 2\times1{,}131\times10^{-4}\times9{,}8 \approx 2{,}2167\times10^{-3}.
    • C_{d}\rho_{\text{ar}}A = 0{,}47\times1{,}2\times7{,}069\times10^{-6}\approx3{,}989\times10^{-6}.
    • razão =2{,}2167\times10^{-3}/3{,}989\times10^{-6}\approx5{,}558\times10^{2}.
    • v_{t}\approx\sqrt{5{,}558\times10^{2}}\approx23{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Caso (b) — tiro/esfera de massa 16 libras (usar densidade do aço)\n
  • converter massa para SI:\n
    • 1\\ \text{lb}=0{,}45359237\\ \mathrm{kg}, logo
m=16\times0{,}45359237\approx7{,}2575\\ \mathrm{kg}.
  • com \rho_{\text{aço}}=8000\\ \mathrm{kg/m^{3}}ç, volume
V=\frac{m}{\rho_{\text{aço}}}=\frac{7{,}2575}{8000}\approx9{,}0719\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.ç
  • obter o raio da esfera a partir de V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}:
r=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3} =\left(\frac{9{,}0719\times10^{-4}}{4{,}18879}\right)^{1/3}\approx0{,}06031\\ \mathrm{m}.
  • área de seção
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}06031)^{2}\approx1{,}1427\times10^{-2}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • aplicar fórmula:
v_{t}=\sqrt{\frac{2\times7{,}2575\times9{,}8}{0{,}47\times1{,}2\times1{,}1427\times10^{-2}}}.
  • calcular numericamente:
    • 2mg\approx2\times7{,}2575\times9{,}8\approx142{,}29.
    • C_{d}\rho_{\text{ar}}A\approx0{,}47\times1{,}2\times1{,}1427\times10^{-2}\approx6{,}442\times10^{-3}.
    • razão \approx142{,}29/6{,}442\times10^{-3}\approx2{,}209\times10^{4}.
    • v_{t}\approx\sqrt{2{,}209\times10^{4}}\approx1{,}49\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}\approx149\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Caso (c) — paraquedista de 200 libras, esfera de densidade 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}\n
  • converter massa para SI:
m=200\times0{,}45359237\approx90{,}7185\\ \mathrm{kg}.
  • densidade adotada \rho_{\text{p}}=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Volume da esfera
V=\frac{m}{\rho_{\text{p}}}=\frac{90{,}7185}{1000}=0{,}0907185\\ \mathrm{m^{3}}.
  • raio
r=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}=\left(\frac{0{,}0907185}{4{,}18879}\right)^{1/3}\approx0{,}279\\ \mathrm{m}.
(observe que isso representa uma esfera com diâmetro \approx0{,}558\\ \mathrm{m}, é uma aproximação geométrica do corpo humano no enunciado)
  • área de seção
A=\pi r^{2}=\pi(0{,}279)^{2}\approx0{,}2446\\ \mathrm{m^{2}}.
  • aplicar fórmula:
v_{t}=\sqrt{\frac{2\times90{,}7185\times9{,}8}{0{,}47\times1{,}2\times0{,}2446}}.
  • calcular numericamente:
    • 2mg\approx2\times90{,}7185\times9{,}8\approx1{,}778{,}08.
    • C_{d}\rho_{\text{ar}}A\approx0{,}47\times1{,}2\times0{,}2446\approx0{,}1379.
    • razão \approx1{,}778{,}08/0{,}1379\approx1{,}2889\times10^{4}.
    • v_{t}\approx\sqrt{1{,}2889\times10^{4}}\approx1{,}136\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}\approx114\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Comentários finais rápidos e incentivo\n
  • Os resultados dependem das aproximações adotadas: valor da densidade do ar e, principalmente, do coeficiente de arrasto C_{d} e da modelagem geométrica (tratar uma pessoa como esfera é grosseiro). Mudanças nessas suposições alteram as velocidades numéricas.
  • Bom trabalho por enfrentar essa questão — o procedimento é sempre o mesmo: obter m e A e usar \,v_{t}=\sqrt{\dfrac{2mg}{C_{d}\rho_{\text{ar}}A}}. Com esse passo a passo dá para aplicar a qualquer objeto da prova!

Resposta

(a) v_{\text{limite}}\approx23{,}6\\ \mathrm{m/s}
(b) v_{\text{limite}}\approx149\\ \mathrm{m/s}
(c) v_{\text{limite}}\approx114\\ \mathrm{m/s}

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