2.33** As funções hiperbólicas cosh
e senh
são definidas da forma
(c) Ouais são as derivadas de cosh
e senh
? O
que dizer sobre as suas integrais? (1
que dizer sobre as suas integrais? (1
Passo 1
O enunciado dá as definições (peguei do enunciado):
O que se pede:
- Calcular as derivadas de
e de . - Dizer o que acontece com as integrais de
e de (isto é, encontrar antiderivadas).
Passo 2
Lembrete simples e essencial que vou usar (explicando devagar): a função exponencial tem a propriedade
valendo isto tanto para
real quanto complexo. Além disso, a derivada é linear, e a regra da cadeia diz que
para qualquer constante
. Vou aplicar essas regras às definições de
e
.
Passo 3
Derivada de
. Parto da definição e derivo termo a termo usando linearidade:
Agora uso
e
(porque
):
Repare que a expressão à direita é exatamente a definição de
. Logo
Passo 4
Derivada de
. Mesma ideia, derive a definição:
Usando
e
:
E a expressão à direita é a definição de
. Portanto
Passo 5
Observação rápida sobre sinais e comparação com funções trigonométricas: note que aqui não aparece sinal negativo nas derivadas (ao contrário de
e
, onde
). Esse detalhe é importante na hora da prova — as hiperbólicas trocam-se nas derivadas sem o menos.
Passo 6
Agora as integrais (antiderivadas). Se a derivada de
é
, então uma antiderivada de
é
. E se a derivada de
é
, então uma antiderivada de
é
. Escrevendo com constante de integração:
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Complemento útil: ambas as funções satisfazem a mesma equação diferencial simples porque trocam-se nas derivadas. Especificamente,
ou seja,
e
são soluções de
.
Passo 8
Exemplos práticos para fixar (aplicando regra da cadeia):
- Derivada de
:
- Integral de
:
Esses exemplos mostram como usar as regras que vimos: derivada da função interior multiplica, e ao integrar aparece o inverso desse multiplicador.