2.33** As funções hiperbólicas cosh z e senh z são definidas da forma
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \quad \text { e } \quad \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
(c) Ouais são as derivadas de cosh z e senh z ? O
que dizer sobre as suas integrais? (1

Passo 1

O enunciado dá as definições (peguei do enunciado):
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{senh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
O que se pede:
  • Calcular as derivadas de \operatorname{cosh} z e de \operatorname{senh} z.
  • Dizer o que acontece com as integrais de \operatorname{cosh} z e de \operatorname{senh} z (isto é, encontrar antiderivadas).

Passo 2

Lembrete simples e essencial que vou usar (explicando devagar): a função exponencial tem a propriedade
\frac{d}{dz}e^{z}=e^{z},
valendo isto tanto para z real quanto complexo. Além disso, a derivada é linear, e a regra da cadeia diz que
\frac{d}{dz}e^{a z}=a\,e^{a z},
para qualquer constante a. Vou aplicar essas regras às definições de \operatorname{cosh} e \operatorname{senh}.

Passo 3

Derivada de \operatorname{cosh} z. Parto da definição e derivo termo a termo usando linearidade:
\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z = \frac{d}{dz}\left(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dz}e^{z} + \frac{d}{dz}e^{-z}\right).
Agora uso \frac{d}{dz}e^{z}=e^{z} e \frac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z} (porque \frac{d}{dz}e^{-z}=(-1)e^{-z}):
\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z = \frac{1}{2}\big(e^{z}-e^{-z}\big).
Repare que a expressão à direita é exatamente a definição de \operatorname{senh} z. Logo
\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z.

Passo 4

Derivada de \operatorname{senh} z. Mesma ideia, derive a definição:
\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z = \frac{d}{dz}\left(\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{d}{dz}e^{z} - \frac{d}{dz}e^{-z}\right).
Usando \frac{d}{dz}e^{z}=e^{z} e \frac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z}:
\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z = \frac{1}{2}\big(e^{z}+e^{-z}\big).
E a expressão à direita é a definição de \operatorname{cosh} z. Portanto
\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z.

Passo 5

Observação rápida sobre sinais e comparação com funções trigonométricas: note que aqui não aparece sinal negativo nas derivadas (ao contrário de \cos e \sin, onde \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x). Esse detalhe é importante na hora da prova — as hiperbólicas trocam-se nas derivadas sem o menos.

Passo 6

Agora as integrais (antiderivadas). Se a derivada de \operatorname{cosh} z é \operatorname{senh} z, então uma antiderivada de \operatorname{senh} z é \operatorname{cosh} z. E se a derivada de \operatorname{senh} z é \operatorname{cosh} z, então uma antiderivada de \operatorname{cosh} z é \operatorname{senh} z. Escrevendo com constante de integração:
\int \operatorname{cosh} z\,dz = \operatorname{senh} z + C, \qquad \int \operatorname{senh} z\,dz = \operatorname{cosh} z + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Complemento útil: ambas as funções satisfazem a mesma equação diferencial simples porque trocam-se nas derivadas. Especificamente,
\frac{d^2}{dz^2}\operatorname{cosh} z=\frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z, \qquad \frac{d^2}{dz^2}\operatorname{senh} z=\frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z,
ou seja, \operatorname{cosh} z e \operatorname{senh} z são soluções de \frac{d^2y}{dz^2}=y.

Passo 8

Exemplos práticos para fixar (aplicando regra da cadeia):
  • Derivada de \operatorname{cosh}(2z):
\frac{d}{dz}\operatorname{cosh}(2z)=2\,\operatorname{senh}(2z).
  • Integral de \operatorname{senh}(3z):
\int \operatorname{senh}(3z)\,dz=\frac{1}{3}\operatorname{cosh}(3z)+C.
Esses exemplos mostram como usar as regras que vimos: derivada da função interior multiplica, e ao integrar aparece o inverso desse multiplicador.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{dz}\operatorname{cosh} z=\operatorname{senh} z
\displaystyle \frac{d}{dz}\operatorname{senh} z=\operatorname{cosh} z
\displaystyle \int \operatorname{cosh} z\,dz=\operatorname{senh} z + C
\displaystyle \int \operatorname{senh} z\,dz=\operatorname{cosh} z + C

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