1.46** Considere o experimento do Problema 1.27, no qual um bloco sem atrito é atirado através de uma mesa giratória passando pelo centro O. (a) Escreva as coordenadas polares r, \varphi do bloco como funções do tempo, conforme observado pelo referencial inercial S de um observador sobre o solo. (Assuma que o bloco foi lançado ao longo do eixo \varphi=0 no instante t=0.) (b) Agora, escreva as coordenadas polares r^{\prime} \mathrm{e} \varphi^{\prime} do bloco medidas por um observador (referencial \delta^{\prime} ) em repouso sobre a mesa giratória. (Escolha essas coordenadas de modo que \varphi e \varphi^{\prime} coincidam em t=0.) Descreva e esboce a trajetória vista pelo segundo observador. O referencial \delta^{\prime} é inercial?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá informações claras. Vou listar separadamente.
O que é pedido:
  • (a) Escrever as coordenadas polares r(t) e \varphi(t) do bloco vistas do referencial inercial S (observador sobre o solo). Assuma que o bloco foi lançado ao longo do eixo \varphi=0 no instante t=0.
  • (b) Escrever as coordenadas polares r'(t) e \varphi'(t) do mesmo bloco medidas por um observador em repouso sobre a mesa giratória (referencial \delta'). As coordenadas devem ser escolhidas de modo que \varphi e \varphi' coincidam em t=0. Descrever e esboçar a trajetória vista pelo observador sobre a mesa e responder se \delta' é um referencial inercial.
Informações dadas / assumidas (explicitadas para não haver ambiguidade):
  • O centro da mesa é O e tomo coordenadas polares centradas em O.
  • A mesa gira com velocidade angular uniforme \Omega (assumo constante) em torno de O (eixo perpendicular à mesa).
  • O bloco é lançado sem atrito e passa pelo centro O. Vou tomar o instante t=0 como o instante em que o bloco atravessa O, e o vetor velocidade do bloco no instante t=0 aponta ao longo do eixo \varphi=0 no referencial inercial S. Denoto por v o módulo da velocidade do bloco (constante, já que não há forças horizontais).
  • Vou descrever o movimento para t\ge0 (após atravessar o centro no sentido positivo do eixo \varphi=0). Se for preciso considerar tempos negativos a ideia é análoga com mudança de sinal.

Passo 2

Entendendo coordenadas polares e movimento retilíneo uniforme no referencial inercial S.
Breve revisão (didática e sem pular etapas):
  • Coordenadas polares (r,\varphi) relacionam-se com coordenadas cartesianas (x,y) por
x = r\cos\varphi,\qquad y = r\sin\varphi.
  • Se uma partícula se move em linha reta atravessando a origem e sua velocidade é constante de módulo v na direção \varphi=0, então na linguagem cartesiana (escolhendo o eixo x na direção \varphi=0) a posição é simplesmente
x(t)=v t,\qquad y(t)=0,
para t\ge0. Em polares, r é a distância ao centro O e \varphi é o ângulo com o eixo x.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Converter x(t)=v t,\;y(t)=0 para coordenadas polares dá
r(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=\sqrt{(v t)^2+0} = v t,
\varphi(t)=0\quad\text{(para }t\ge0\text{)}.
Interpretação: no referencial inercial S o bloco descreve uma trajetória retilínea que sai do centro na direção \varphi=0 com velocidade constante v. As coordenadas polares são
\boxed{r(t)=v t,\qquad \varphi(t)=0,\quad t\ge0.}

Passo 3

Passando para o referencial que gira com a mesa ( \delta'). Relação entre ângulos nos dois referenciais.
Conceito importante (explicado): se um referencial \delta' gira em torno de O com velocidade angular constante \Omega em relação ao referencial inercial S, então um ponto que tem ângulo \varphi medido em S e ângulo \varphi' medido em \delta' satisfaz a relação (escolhendo a convenção em que a mesa gira de modo que \varphi aumente em S quando \delta' gira no sentido positivo):
\varphi(t) = \varphi'(t) + \Omega t.
Isto porque o eixo de referência do observador que gira já rodou de um ângulo \Omega t em relação ao eixo fixo do solo. A equação pode ser rearranjada para
\varphi'(t) = \varphi(t) - \Omega t.
Além disso, a distância radial ao centro é a mesma para ambos os observadores (mesmo ponto no plano), então
r'(t)=r(t).
Agora substituo os resultados do Passo 2 (em S tínhamos \varphi(t)=0,\;r(t)=v t):
r'(t)=v t,
\varphi'(t)=0 - \Omega t = -\Omega t.
Portanto, em \delta' as coordenadas do bloco (para t\ge0) são
\boxed{r'(t)=v t,\qquad \varphi'(t)=-\Omega t.}

Passo 4

Interpretar a forma da trajetória no referencial que gira; eliminar o tempo para obter equação r'(\varphi') e identificar a curva.
Eliminação do tempo (passo a passo):
  • De r'(t)=v t vem t=\dfrac{r'}{v}.
  • Substituindo em \varphi'(t)=-\Omega t
\varphi' = -\Omega\left(\frac{r'}{v}\right).
  • Rearranjando para escrever r' em função de \varphi':
r' = -\frac{v}{\Omega}\,\varphi'.
Essa é a equação de uma espiral de Arquimedes (espiral linear), pois r' é proporcional ao ângulo \varphi'. A constante de proporcionalidade é -\dfrac{v}{\Omega}. O sinal negativo indica que, quando o ângulo \varphi' diminui (valor negativo crescente em módulo), r' aumenta — isto corresponde a uma espiral que gira no sentido horário no referencial da mesa se a rotação \Omega for positiva no sentido anti-horário.
Características geométricas úteis (como estudar para prova):
  • A distância radial cresce linearmente com o tempo: r'(t)=v t.
  • O ângulo no referencial girante muda linearmente: \varphi'(t)=-\Omega t.
  • A espessura entre voltas sucessivas (distância radial adicionada ao completar uma volta no ângulo) é
\Delta r' \text{ por volta} = \frac{2\pi v}{|\Omega|}.
Isto é útil para visualizar: cada volta que a mesa dá, o ponto se distancia radialmente de \dfrac{2\pi v}{|\Omega|}.
Descrição verbal / esboço mental:
  • Para o observador sobre a mesa, o bloco não segue uma linha reta: parece enrolar-se em torno do centro O enquanto se afasta. O trajeto é uma espiral de Arquimedes com voltas espaçadas uniformemente.
  • Se a mesa gira no sentido anti-horário ( \Omega>0), a espiral vista sobre a mesa é no sentido horário (porque \varphi' é negativo e decresce), e vice-versa.

Passo 5

Explicar por que o referencial \delta' NÃO é inercial (e uma demonstração rápida com acelerações).
Intuição e argumento físico:
  • No referencial inercial S o bloco sofre aceleração nula (movimento retilíneo uniforme), logo nenhuma força horizontal atua sobre ele.
  • No referencial que gira ( \delta') o bloco tem coordenadas que variam com o tempo de modo que sua aceleração observada em coordenadas polares em \delta' não é zero. Assim, um observador em \delta' vê o bloco acelerado, embora não haja forças reais horizontais sobre ele. Para aplicar as leis de Newton no referencial \delta' sem modificar nada seria incorreto — é preciso introduzir forças fictícias (força de Coriolis e força centrífuga). Isso caracteriza \delta' como referencial não inercial.
Demonstração curta por cálculo (didática):
  • Em coordenadas polares (no referencial que gira) a aceleração tem componentes
a_{r}' = r'' - r(\varphi')^2,\qquad a_{\varphi}' = r\varphi'' + 2 r'\varphi'.
Usando r'(t)=v t (logo r''=0), r'=v, e \varphi'(t)=-\Omega (logo \varphi''=0), obtemos
a_{r}' = 0 - (v t)\,\Omega^2 = -v t\,\Omega^2,
a_{\varphi}' = (v t)\cdot 0 + 2 v\cdot(-\Omega) = -2 v \Omega.
Portanto a'\neq 0 embora nenhuma força real atue. Para reconciliar com a 2ª lei no referencial girante, são necessárias as acelerações fictícias (centrífuga e de Coriolis). Logo \delta' é não inercial.

Passo 6

Resumo final e dicas de prova (como usar isso rapidamente durante uma questão semelhante)
  • Se um objeto passa pelo centro e tem velocidade constante v num referencial inercial, então r=vt e \varphi é constante igual à direção do movimento.
  • Para passar ao referencial girante com velocidade angular \Omega, use \varphi'=\varphi-\Omega t e r'=r.
  • Elimine t para identificar a curva: aqui resulta a espiral de Arquimedes r' = -(v/\Omega)\,\varphi'.
  • Sempre cheque sinais e sentido de rotação: se \varphi' diminui com o tempo, a espiral gira no sentido oposto ao da rotação do referencial.

Resposta

(a) r(t)=v t,\qquad \varphi(t)=0 (para t\ge0).
(b) r'(t)=v t,\qquad \varphi'(t)=-\Omega t. A trajetória no referencial girante é a espiral de Arquimedes r'=-\dfrac{v}{\Omega}\,\varphi' (voltas igualmente espaçadas; gira no sentido oposto ao da rotação se \Omega>0).
O referencial \delta' não é inercial.

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