1.46** Considere o experimento do Problema 1.27, no qual um bloco sem atrito é atirado através de uma mesa giratória passando pelo centro
. (a) Escreva as coordenadas polares
do bloco como funções do tempo, conforme observado pelo referencial inercial
de um observador sobre o solo. (Assuma que o bloco foi lançado ao longo do eixo
no instante
.) (b) Agora, escreva as coordenadas polares
do bloco medidas por um observador (referencial
) em repouso sobre a mesa giratória. (Escolha essas coordenadas de modo que
e
coincidam em
.) Descreva e esboce a trajetória vista pelo segundo observador. O referencial
é inercial?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá informações claras. Vou listar separadamente.
O que é pedido:
- (a) Escrever as coordenadas polares
e do bloco vistas do referencial inercial (observador sobre o solo). Assuma que o bloco foi lançado ao longo do eixo no instante . - (b) Escrever as coordenadas polares
e do mesmo bloco medidas por um observador em repouso sobre a mesa giratória (referencial ). As coordenadas devem ser escolhidas de modo que e coincidam em . Descrever e esboçar a trajetória vista pelo observador sobre a mesa e responder se é um referencial inercial.
Informações dadas / assumidas (explicitadas para não haver ambiguidade):
- O centro da mesa é
e tomo coordenadas polares centradas em . - A mesa gira com velocidade angular uniforme
(assumo constante) em torno de (eixo perpendicular à mesa). - O bloco é lançado sem atrito e passa pelo centro
. Vou tomar o instante como o instante em que o bloco atravessa , e o vetor velocidade do bloco no instante aponta ao longo do eixo no referencial inercial . Denoto por o módulo da velocidade do bloco (constante, já que não há forças horizontais). - Vou descrever o movimento para
(após atravessar o centro no sentido positivo do eixo ). Se for preciso considerar tempos negativos a ideia é análoga com mudança de sinal.
Passo 2
Entendendo coordenadas polares e movimento retilíneo uniforme no referencial inercial
.
Breve revisão (didática e sem pular etapas):
- Coordenadas polares
relacionam-se com coordenadas cartesianas por
- Se uma partícula se move em linha reta atravessando a origem e sua velocidade é constante de módulo
na direção , então na linguagem cartesiana (escolhendo o eixo na direção ) a posição é simplesmente
para
. Em polares,
é a distância ao centro
e
é o ângulo com o eixo
.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Converter
para coordenadas polares dá
Interpretação: no referencial inercial
o bloco descreve uma trajetória retilínea que sai do centro na direção
com velocidade constante
. As coordenadas polares são
Passo 3
Passando para o referencial que gira com a mesa (
). Relação entre ângulos nos dois referenciais.
Conceito importante (explicado): se um referencial
gira em torno de
com velocidade angular constante
em relação ao referencial inercial
, então um ponto que tem ângulo
medido em
e ângulo
medido em
satisfaz a relação (escolhendo a convenção em que a mesa gira de modo que
aumente em
quando
gira no sentido positivo):
Isto porque o eixo de referência do observador que gira já rodou de um ângulo
em relação ao eixo fixo do solo. A equação pode ser rearranjada para
Além disso, a distância radial ao centro é a mesma para ambos os observadores (mesmo ponto no plano), então
Agora substituo os resultados do Passo 2 (em
tínhamos
):
Portanto, em
as coordenadas do bloco (para
) são
Passo 4
Interpretar a forma da trajetória no referencial que gira; eliminar o tempo para obter equação
e identificar a curva.
Eliminação do tempo (passo a passo):
- De
vem . - Substituindo em
dá
- Rearranjando para escrever
em função de :
Essa é a equação de uma espiral de Arquimedes (espiral linear), pois
é proporcional ao ângulo
. A constante de proporcionalidade é
. O sinal negativo indica que, quando o ângulo
diminui (valor negativo crescente em módulo),
aumenta — isto corresponde a uma espiral que gira no sentido horário no referencial da mesa se a rotação
for positiva no sentido anti-horário.
Características geométricas úteis (como estudar para prova):
- A distância radial cresce linearmente com o tempo:
. - O ângulo no referencial girante muda linearmente:
. - A espessura entre voltas sucessivas (distância radial adicionada ao completar uma volta no ângulo) é
Isto é útil para visualizar: cada volta que a mesa dá, o ponto se distancia radialmente de
.
Descrição verbal / esboço mental:
- Para o observador sobre a mesa, o bloco não segue uma linha reta: parece enrolar-se em torno do centro
enquanto se afasta. O trajeto é uma espiral de Arquimedes com voltas espaçadas uniformemente. - Se a mesa gira no sentido anti-horário (
), a espiral vista sobre a mesa é no sentido horário (porque é negativo e decresce), e vice-versa.
Passo 5
Explicar por que o referencial
NÃO é inercial (e uma demonstração rápida com acelerações).
Intuição e argumento físico:
- No referencial inercial
o bloco sofre aceleração nula (movimento retilíneo uniforme), logo nenhuma força horizontal atua sobre ele. - No referencial que gira (
) o bloco tem coordenadas que variam com o tempo de modo que sua aceleração observada em coordenadas polares em não é zero. Assim, um observador em vê o bloco acelerado, embora não haja forças reais horizontais sobre ele. Para aplicar as leis de Newton no referencial sem modificar nada seria incorreto — é preciso introduzir forças fictícias (força de Coriolis e força centrífuga). Isso caracteriza como referencial não inercial.
Demonstração curta por cálculo (didática):
- Em coordenadas polares (no referencial que gira) a aceleração tem componentes
Usando
(logo
),
, e
(logo
), obtemos
Portanto
embora nenhuma força real atue. Para reconciliar com a 2ª lei no referencial girante, são necessárias as acelerações fictícias (centrífuga e de Coriolis). Logo
é não inercial.
Passo 6
Resumo final e dicas de prova (como usar isso rapidamente durante uma questão semelhante)
- Se um objeto passa pelo centro e tem velocidade constante
num referencial inercial, então e é constante igual à direção do movimento. - Para passar ao referencial girante com velocidade angular
, use e . - Elimine
para identificar a curva: aqui resulta a espiral de Arquimedes . - Sempre cheque sinais e sentido de rotação: se
diminui com o tempo, a espiral gira no sentido oposto ao da rotação do referencial.
Resposta
(a)
(para
).
(b) . A trajetória no referencial girante é a espiral de Arquimedes
(voltas igualmente espaçadas; gira no sentido oposto ao da rotação se
).
O referencial não é inercial.
(b)
O referencial