2.34** A função hiperbólica tanh z é definida como tanh z=\operatorname{senh} z / \operatorname{cosh} z, com cosh z e senh z definidas no Problema 2.33. (a) Mostre que \operatorname{tanh} z=-i \tan (i z). (b) Qual é a derivada
Mostre que \int d x /\left(1-x^{2}\right)=\operatorname{arctanh} x.

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • (a) Mostrar a identidade entre a função hiperbólica tangente e a tangente usual com argumento imaginário: \operatorname{tanh} z = -i \tan(i z).
  • (b) Determinar a derivada (da função inversa hiperbólica) e usar isso para mostrar a integral
\int \frac{dx}{1-x^{2}} = \operatorname{arctanh} x + C.
Informações fornecidas (definições que iremos usar, vindas do enunciado ou necessárias):
  • A função hiperbólica tangente é definida por
\operatorname{tanh} z = \frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}.
  • As funções hiperbólicas são definidas por (do problema anterior, que vamos usar):
\operatorname{sinh} z = \frac{e^{z}-e^{-z}}{2},\qquad \operatorname{cosh} z = \frac{e^{z}+e^{-z}}{2}.
  • As funções trigonométricas usuais em termos exponenciais são
\sin w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i},\qquad \cos w = \frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}.

Passo 2

Vamos conectar as funções trigonométricas com as hiperbólicas quando o argumento é imaginário. A ideia é substituir w = i z nas fórmulas de \sin e \cos e manipular exponenciais.
Calcule \sin(i z) usando a expressão exponencial de \sin:
\sin(i z)=\frac{e^{i(i z)}-e^{-i(i z)}}{2i}=\frac{e^{-z}-e^{z}}{2i}.
Separe um sinal para identificar \operatorname{sinh}:
\sin(i z)=\frac{-(e^{z}-e^{-z})}{2i}=-\frac{1}{i}\cdot\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}.
Usando a definição de \operatorname{sinh} z, obtemos
\sin(i z)=-\frac{1}{i}\operatorname{sinh} z.
Como -\dfrac{1}{i}=i (porque i\cdot i=-1), isto é mais comumente escrito como
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh} z.
(Comentário rápido: tanto -\dfrac{1}{i}=i quanto a forma intermediária são equivalentes; é costume escrever \sin(i z)=i\operatorname{sinh} z.)
Agora calcule \cos(i z) pela expressão exponencial de \cos:
\cos(i z)=\frac{e^{i(i z)}+e^{-i(i z)}}{2}=\frac{e^{-z}+e^{z}}{2}=\operatorname{cosh} z.
Resumo das identidades úteis que acabamos de obter:
\sin(i z)=i\,\operatorname{sinh} z,\qquad \cos(i z)=\operatorname{cosh} z.

Passo 3

Usando as identidades do passo anterior, calcule \tan(i z). Por definição,
\tan(i z)=\frac{\sin(i z)}{\cos(i z)}.
Substituindo as expressões encontradas:
\tan(i z)=\frac{i\,\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}=i\,\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}=i\,\operatorname{tanh} z.
Isolando \operatorname{tanh} z obtemos
\operatorname{tanh} z = \frac{1}{i}\tan(i z).
Como \dfrac{1}{i}=-i, a forma mais comum é
\operatorname{tanh} z = -\,i\,\tan(i z).
Isso conclui a parte (a).

Passo 4

Agora vamos à parte (b): encontrar a derivada da função \operatorname{arctanh} x e mostrar a integral pedida. Primeiro defino a função inversa e uso diferenciação implícita.
Defina y=\operatorname{arctanh} x. Por definição de função inversa isso equivale a
x=\operatorname{tanh} y.
Diferencie ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo dx/dx=1, no direito use a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(\operatorname{tanh} y)=\frac{d}{dy}(\operatorname{tanh} y)\cdot\frac{dy}{dx}.
Logo
1=\operatorname{tanh}'(y)\cdot\frac{dy}{dx}.
Precisamos de \operatorname{tanh}'(y). Lembremos que \operatorname{tanh} y=\dfrac{\operatorname{sinh} y}{\operatorname{cosh} y}. Diferenciando usando quociente (ou usando identidade conhecida), temos
\frac{d}{dy}\operatorname{tanh} y=\operatorname{sech}^{2}y,
onde \operatorname{sech}y=1/\operatorname{cosh} y. Podemos também mostrar rapidamente que
\operatorname{sech}^{2}y=1-\operatorname{tanh}^{2}y,
porque
1-\operatorname{tanh}^{2}y=1-\frac{\operatorname{sinh}^{2}y}{\operatorname{cosh}^{2}y}=\frac{\operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y}{\operatorname{cosh}^{2}y}=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}y}=\operatorname{sech}^{2}y,
já que \operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y=1.
Voltando à diferenciação implícita, substitua \operatorname{tanh}'(y)=\operatorname{sech}^{2}y:
1=\operatorname{sech}^{2}y\cdot\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sech}^{2}y}=\operatorname{cosh}^{2}y.
Mas é mais prático escrever em termos de x. Lembrando que x=\operatorname{tanh} y, use \operatorname{sech}^{2}y=1-\operatorname{tanh}^{2}y=1-x^{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1-x^{2}}.
Como y=\operatorname{arctanh} x, concluímos a derivada procurada:
\boxed{\frac{d}{dx}\operatorname{arctanh} x=\frac{1}{1-x^{2}}.}
Observação sobre domínio: para funções reais, essa expressão vale para |x|<1 (onde \operatorname{arctanh} x é real e a derivada finita). Para extensões complexas, a fórmula é válida na região onde a inversa é bem definida.

Passo 5

Usando a derivada encontrada, fazemos a integral. Se uma função F tem F'(x)=\dfrac{1}{1-x^{2}}, então qualquer primitiva de 1/(1-x^{2}) difere de F por uma constante. Como \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctanh} x=\dfrac{1}{1-x^{2}}, segue que
\int \frac{dx}{1-x^{2}}=\operatorname{arctanh} x + C.
Para reforçar (método alternativo clássico, útil na prova): resolver a integral por frações parciais quando |x|<1. Escreva
\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right).
Integrando:
\int \frac{dx}{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{1-x}+\frac{1}{2}\int\frac{dx}{1+x}=\frac{1}{2}\bigl(-\ln(1-x)+\ln(1+x)\bigr)+C.
Combine os logaritmos:
\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+C.
E por definição (uma forma comum da função inversa hiperbólica),
\operatorname{arctanh} x=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),
então a primitiva coincide com \operatorname{arctanh} x + C, como queríamos.

Resposta

(a) \operatorname{tanh} z = -i\,\tan(i z)
(b) \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctanh} x = \dfrac{1}{1-x^{2}} \
\displaystyle \int \frac{dx}{1-x^{2}}=\operatorname{arctanh} x + C

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