2.34** A função hiperbólica tanh
é definida como tanh
, com cosh
e senh
definidas no Problema 2.33. (a) Mostre que
. (b) Qual é a derivada
Mostre que
.
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
- (a) Mostrar a identidade entre a função hiperbólica tangente e a tangente usual com argumento imaginário:
. - (b) Determinar a derivada (da função inversa hiperbólica) e usar isso para mostrar a integral
Informações fornecidas (definições que iremos usar, vindas do enunciado ou necessárias):
- A função hiperbólica tangente é definida por
- As funções hiperbólicas são definidas por (do problema anterior, que vamos usar):
- As funções trigonométricas usuais em termos exponenciais são
Passo 2
Vamos conectar as funções trigonométricas com as hiperbólicas quando o argumento é imaginário. A ideia é substituir
nas fórmulas de
e
e manipular exponenciais.
Calcule
usando a expressão exponencial de
:
Separe um sinal para identificar
:
Usando a definição de
, obtemos
Como
(porque
), isto é mais comumente escrito como
(Comentário rápido: tanto
quanto a forma intermediária são equivalentes; é costume escrever
.)
Agora calcule
pela expressão exponencial de
:
Resumo das identidades úteis que acabamos de obter:
Passo 3
Usando as identidades do passo anterior, calcule
. Por definição,
Substituindo as expressões encontradas:
Isolando
obtemos
Como
, a forma mais comum é
Isso conclui a parte (a).
Passo 4
Agora vamos à parte (b): encontrar a derivada da função
e mostrar a integral pedida. Primeiro defino a função inversa e uso diferenciação implícita.
Defina
. Por definição de função inversa isso equivale a
Diferencie ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo
, no direito use a regra da cadeia:
Logo
Precisamos de
. Lembremos que
. Diferenciando usando quociente (ou usando identidade conhecida), temos
onde
. Podemos também mostrar rapidamente que
porque
já que
.
Voltando à diferenciação implícita, substitua
:
Isolando
obtemos
Mas é mais prático escrever em termos de
. Lembrando que
, use
. Assim
Como
, concluímos a derivada procurada:
Observação sobre domínio: para funções reais, essa expressão vale para
(onde
é real e a derivada finita). Para extensões complexas, a fórmula é válida na região onde a inversa é bem definida.
Passo 5
Usando a derivada encontrada, fazemos a integral. Se uma função
tem
, então qualquer primitiva de
difere de
por uma constante. Como
, segue que
Para reforçar (método alternativo clássico, útil na prova): resolver a integral por frações parciais quando
. Escreva
Integrando:
Combine os logaritmos:
E por definição (uma forma comum da função inversa hiperbólica),
então a primitiva coincide com
, como queríamos.
Resposta
(a)
(b)
\