23: Esboce um gráfico de um exemplo de função f que satisfaça as seguintes condições:
lim x -infty f(x)=-2, lim x infty f(x)=0, lim x -3 f(x)=infty, lim x 3^- f(x)=-infty, lim x 3^+ f(x)=2,
a função f é contínua à direita em 3 .

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f que satisfaça estas condições de limite e continuidade à direita em x=3:
limxto-inftyf(x)=-2,
limxtoinftyf(x)=0,
limxto-3f(x)=+infty,
limxto3^-f(x)=-infty,
limxto3^+f(x)=2 e f contínua à direita em 3.
Para isso vamos usar o conceito de assíntotas horizontais (para xtopminfty) e verticais (em x=-3 e em x=3) e montar f por partes.

Passo 2

Definimos para x<3 uma parte f1 que tenha
– assíntota horizontal y=-2 em xto-infty,
– assíntota vertical em x=-3 com explosão para +infty,
– assíntota vertical em x=3 com explosão para -infty.
Uma escolha simples é
f1(x)=-2+1x+3+1x-3,
De fato:
– Se xto-infty, 1x+3to0 e 1x-3to0, logo f1to-2.
– Se xto-3^+, 1x+3to+infty, então f1to+infty.
– Se xto3^-, 1x-3to-infty, então f1to-infty.

Passo 3

Para x>=3 definimos f2 com
limxto3^+f2(x)=2,
– continuidade à direita em 3 (logo f2(3)=2),
– assíntota horizontal y=0 em xto+infty.
Basta uma razão simples com denomínio que cresce e valha 1 em x=3, por exemplo
f2(x)=2x-2,, x>=3
Então ,f2(3)=2/(3-2)=2 e limxtoinfty2/(x-2)=0.

Passo 4

Juntando as duas peças, definimos
f(x)= -2+dfrac1x+3+dfrac1x-3, & x<3,[6pt] dfrac2x-2, & x>=3
Este f satisfaz exatamente todos os limites e é contínua pela direita em x=3.]

Resposta

Uma possível função exemplo é
f(x)= -2+dfrac1x+3+dfrac1x-3, & x<3,[6pt] dfrac2x-2, & x>=3
O esboço do gráfico mostra:
  • Para xto-infty, f(x) aproxima-se de -2.
  • Em x=-3 há assíntota vertical com fto+infty.
  • Entre -3 e 3, f cai de +infty até -infty em xto3^-.
  • Em x=3, f(3)=2 (contínua pela direita).
  • Para x>3, f decresce de 2 até aproximar-se de 0 (assíntota horizontal à direita).]

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