Aplicar o método de Fourier e encontrar a solução T(x, t).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação de calor, que basicamente descreve como a temperatura T(x, t) varia ao longo do tempo e do espaço em uma barra de comprimento L . O que precisamos fazer é encontrar a solução para T(x, t) usando o método de Fourier. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais, separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Tt = K Txx
Aqui, Tt representa a variação da temperatura no tempo, e Txx representa a variação da temperatura no espaço. K é a constante de difusão térmica.
As condições de contorno são:
Tx(0, t) = 0 e Tx(L, t) = 0
Isso significa que as extremidades da barra são isoladas, ou seja, não há fluxo de calor passando por elas.
A condição inicial é:
T(x, 0) = f(x)
Isso nos dá a distribuição inicial de temperatura ao longo da barra.
Passo 3
Vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que assumimos que a solução pode ser escrita como produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de t :
T(x, t) = X(x) cdot Theta(t)
Passo 4
Substituindo T(x, t) = X(x) Theta(t) na equação de calor:
Theta'(t) X(x) = K Theta(t) X''(x)
Dividindo ambos os lados por X(x) Theta(t) :
Theta'(t)K Theta(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
Para Theta(t) :
Theta'(t) + K lambda Theta(t) = 0
Para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Passo 5
Vamos resolver a equação para X(x) :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Com as condições de contorno X'(0) = 0 e X'(L) = 0 .
Essas são equações de valor próprio com soluções em funções cosseno, já que as derivadas nas extremidades são zero.
As soluções são:
Xn(x) = cos(npi xL)
Onde n = 0, 1, 2, dots , e os valores próprios são:
lambdan = (npiL)^2
Passo 6
Agora, resolvemos a equação para Theta(t) :
Thetan'(t) + K (npiL)^2 Thetan(t) = 0
A solução dessa equação diferencial é:
Thetan(t) = Cn e^-K (npiL)^2 t
Onde Cn é uma constante que será determinada pela condição inicial.
Passo 7
Assim, as soluções separadas para cada modo n são:
Tn(x, t) = Cn cos(npi xL) e^-K (npiL)^2 t
A solução geral é a soma de todos esses modos:
T(x, t) = sumn=0^infty Cn cos(npi xL) e^-K (npiL)^2 t
Passo 8
Para encontrar os coeficientes Cn , usamos a condição inicial T(x, 0) = f(x) :
f(x) = sumn=0^infty Cn cos(npi xL)
Isso é uma série de Fourier em cossenos. Os coeficientes Cn são dados por:
Cn = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) dx
Para n = 0 , o coeficiente é:
C0 = 1L integral0^L f(x) dx
Passo 9
Finalmente, substituindo Cn na solução geral, temos: