2.23 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade \vec{V}=a y \hat{i}+b \hat{j}, onde a=1 \mathrm{~s}^{-1} \mathrm{e} b=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma expressão para a linha de corrente que passa pelo ponto (6,6) . \mathrm{Em} t=1 \mathrm{~s}, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (1,4) em t=0 ? \mathrm{Em} t=3 \mathrm{~s}, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto (-3,0) 2 segundos antes? Mostre que, para esse escoamento, as linhas de corrente, de emissão e de trajeto coincidem.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade
\vec{V}(x,y)=a\,y\,\hat{i}+b\,\hat{j},
com a=1\\ \mathrm{s}^{-1} e b=2\\ \mathrm{m/s}.
  1. A primeira parte pede a linha de corrente (streamline) que passa por (6,6).
  2. Depois, o traçado de partículas (pathline): dado que em t=0 a partícula está em (1,4), onde ela está em t=1?
  3. Em t=3, onde está a partícula que passou por (-3,0) em t=1?
  4. Finalmente mostrar que linhas de corrente, trajetórias e linhas de emissão coincidem neste escoamento (fluxo estacionário).

Passo 2

Para achar a linha de corrente usamos a definição
\frac{dy}{dx}=\frac{V_y}{V_x}=\frac{b}{a\,y}.
Isto dá a EDO
y\,dy = \frac{b}{a}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = \frac{b}{a}\,x + C.
Multiplicando por 2 e trocando C\to C', obtemos
y^2 = \frac{2b}{a}\,x + C'.
Como a linha de corrente passa por (6,6), impomos
6^2 = \frac{2b}{a}\,6 + C' \quad\Longrightarrow\quad 36 = 2\cdot\frac{2}{1}\cdot6 + C' = 24 + C' \quad\Longrightarrow\quad C' = 12.
Logo a linha de corrente é
\boxed{y^2 = 4\,x + 12.}

Passo 3

Para a pathline resolvemos o sistema de ODEs
\frac{dx}{dt} = a\,y = y, \quad \frac{dy}{dt} = b = 2.
Integrando primeiro \frac{dy}{dt}=2 com condição inicial y(0)=4, temos
y(t)=2\,t + 4.
Em seguida
\frac{dx}{dt} = 2\,t + 4 \quad\Longrightarrow\quad x(t) = \int(2t+4)\,dt + x(0) = t^2 + 4\,t + 1,
pois x(0)=1.

Passo 4

Em t=1 a partícula que começou em (1,4) estará em
y(1)=2\cdot1+4=6, \quad x(1)=1^2+4\cdot1+1=6.
Portanto em t=1 ela está em \boxed{(6,6)}.

Passo 5

Agora queremos a posição em t=3 da partícula que passou por (-3,0) em t=1.
Tomamos t_0=1, x(t_0)=-3, y(t_0)=0. Mantendo as mesmas integrações, mas partindo de t_0=1, obtemos para \Delta t=t-1=2:
y(3)=0 + 2\cdot(3-1)=4, \quad x(3)=-3 + (3-1)^2 +4\,(3-1)= -3 +4 +8 =9.
Logo em t=3 a partícula está em \boxed{(9,4)}.

Passo 6

Este escoamento é estacionário ( \vec V não depende de t). As curvas de trajetória (pathlines) satisfazem
y^2 - \frac{2b}{a}\,x = \text{constante},
que é exatamente a equação das linhas de corrente.
Analogamente, as linhas de emissão (streaklines) também reduzem-se à mesma família de curvas
y^2 - 4\,x = \text{constante}.
Portanto todas coincidem.

Resposta

Linha de corrente que passa por (6,6):
y^2 = 4\,x + 12.
Em t=1, a partícula que estava em (1,4) em t=0 está em
(6,6).
Em t=3, a partícula que passou por (-3,0) em t=1 está em
(9,4).
Linhas de corrente, trajetórias e de emissão coincidem porque o escoamento é estacionário e todas obedecem à mesma equação y^2-4x=\text{constante}.

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