2.23 Um escoamento é descrito pelo campo de velocidade
, onde
. As coordenadas são medidas em metros. Obtenha uma expressão para a linha de corrente que passa pelo ponto
, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto
em
, quais são as coordenadas da partícula que passou pelo ponto
segundos antes? Mostre que, para esse escoamento, as linhas de corrente, de emissão e de trajeto coincidem.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade
com
e
.
- A primeira parte pede a linha de corrente (streamline) que passa por
. - Depois, o traçado de partículas (pathline): dado que em
a partícula está em , onde ela está em ? - Em
, onde está a partícula que passou por em ? - Finalmente mostrar que linhas de corrente, trajetórias e linhas de emissão coincidem neste escoamento (fluxo estacionário).
Passo 2
Para achar a linha de corrente usamos a definição
Isto dá a EDO
Multiplicando por 2 e trocando
, obtemos
Como a linha de corrente passa por
, impomos
Logo a linha de corrente é
Passo 3
Para a pathline resolvemos o sistema de ODEs
Integrando primeiro
com condição inicial
, temos
Em seguida
pois
.
Passo 4
Em
a partícula que começou em
estará em
Portanto em
ela está em
.
Passo 5
Agora queremos a posição em
da partícula que passou por
em
.
Tomamos ,
,
. Mantendo as mesmas integrações, mas partindo de
, obtemos para
:
Tomamos
Logo em
a partícula está em
.
Passo 6
Este escoamento é estacionário (
não depende de
). As curvas de trajetória (pathlines) satisfazem
que é exatamente a equação das linhas de corrente.
Analogamente, as linhas de emissão (streaklines) também reduzem-se à mesma família de curvas
Analogamente, as linhas de emissão (streaklines) também reduzem-se à mesma família de curvas
Portanto todas coincidem.
Resposta
Linha de corrente que passa por
:
Em
, a partícula que estava em
em
está em
Em
, a partícula que passou por
em
está em
Linhas de corrente, trajetórias e de emissão coincidem porque o escoamento é estacionário e todas obedecem à mesma equação
.