Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(b) u=2 x y-x^{2}+y
v=x^{3}+x\left(y^{2}-2 y\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de velocidades bidimensional
u = 2xy - x^{2} + y,\quad v = x^{3} + x\bigl(y^{2}-2y\bigr)
é incompressível. Em escoamento 2D incompressível, a condição é
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. Como
u = 2xy - x^{2} + y,
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = 2y - 2x.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}. Como
v = x^{3} + x\bigl(y^{2}-2y\bigr),
a parte x^{3} independe de y e
\frac{\partial}{\partial y}\bigl[x(y^{2}-2y)\bigr] = x(2y-2)=2xy-2x.
Logo
\frac{\partial v}{\partial y} = 2xy - 2x.

Passo 4

Somando as derivadas para obter a divergência:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = (2y - 2x) + (2xy - 2x) = 2xy + 2y - 4x.
Como isso não é identicamente zero em (x,y), a condição de incompressibilidade falha.

Resposta

O campo não representa um escoamento bidimensional incompressível, pois
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 2xy + 2y - 4x \neq 0.

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