( \mathbf{2 , 5} pontos) Fixam-se aletas de alumínio de perfil triangular a uma parede plana, com 5 mm de espaçamento (isto é, 200 aletas por metro). A base da aleta tem 2 mm de espessura, a altura \mathrm{L}=8 \mathrm{~mm}, e a condutividade térmica do material da aleta é \mathrm{k}=200 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}\right). A parede plana é mantida a \mathrm{T} 0=240^{\circ} \mathrm{C} e as aletas dissipam convectivamente calor para o ar ambiente a \mathrm{Too}=40^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor igual a 50 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}\right). determine a perda de calor por metro quadrado da superfície da parede.

Passo 1

O enunciado descreve a instalação de aletas triangulares de alumínio sobre uma parede plana à temperatura de superfície \,T_0=240^\circ\mathrm{C}, que perdem calor por convecção para o ar a \,T_\infty=40^\circ\mathrm{C} com coeficiente h=50\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}). A cada metro de largura há 200 aletas (espaçamento de p=1/200=0,005\,\mathrm{m}), cada aleta tem altura L=0,008\,\mathrm{m}, espessura na base t=0,002\,\mathrm{m} e condutividade térmica k=200\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}). Precisamos calcular a perda de calor total por metro quadrado da parede, somando aletas e a região entre elas.

Passo 2

Determinar o parâmetro de decaimento térmico da aleta triangular
Para uma aleta de espessura variável triun­gular, definimos a seção transversal média (para condução)
A_c=\tfrac12\,t\,L=\tfrac12\,(0,002)\,(0,008)=8{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2
e o perímetro exposto à convecção (duas faces laterais)
P=2\,\sqrt{L^2+(t/2)^2} =2\,\sqrt{(0,008)^2+(0,001)^2} \approx0,01612\,\mathrm{m}.
Então
m=\sqrt{\frac{h\,P}{k\,A_c}} =\sqrt{\frac{50\cdot0,01612}{200\cdot8{,}0\times10^{-6}}} \approx22{,}45\;\mathrm{m}^{-1}
e
mL=22{,}45\cdot0,008\approx0{,}1796\,.

Passo 3

Calcular a eficiência da aleta triangular
Para aletas de perfil triangular com ponta afilada, a eficiência é
\eta =\frac{2}{(mL)^2}\Bigl[1-(1+mL)e^{-\,mL}\Bigr]
Substituindo mL=0,1796 e e^{-\,0,1796}\approx0,8356, obtemos
\eta =\frac{2}{(0{,}1796)^2}\Bigl[1-(1+0{,}1796)\,0{,}8356\Bigr] \approx0{,}93.

Passo 4

Calcular a troca térmica por aleta
A área de convecção de cada aleta (duas faces laterais, comprimento unitário 1 m) é
A_s =2\;\sqrt{L^2+(t/2)^2}\times1 \approx0,01612\,\mathrm{m}^2.
Logo, a perda de cada aleta é
q_{\text{aleta}} =\eta\,h\,A_s\,(T_0-T_\infty) =0{,}93\cdot50\cdot0{,}01612\cdot(240-40) \approx150\,\mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a troca térmica da parede entre aletas
O espaço livre entre aletas é p-t=0,005-0,002=0,003\,\mathrm{m}. Por metro de largura e altura de 1\,\mathrm{m} a área livre é
A_{\text{livre}}=200\cdot0{,}003\cdot1=0{,}6\,\mathrm{m}^2.
A perda nessa região é
Q_{\text{livre}} =A_{\text{livre}}\,h\,(T_0-T_\infty) =0{,}6\cdot50\cdot200 =6\,000\,\mathrm{W}.

Passo 6

Somar as contribuições das aletas e da parede livre
200 aletas por metro de largura, então
Q_{\text{aletas}} =200\cdot150=30\,000\,\mathrm{W}.
O total por metro quadrado da parede é
Q_{\text{total}} =Q_{\text{aletas}}+Q_{\text{livre}} =30\,000+6\,000 =36\,000\,\mathrm{W/m^2}.

Resposta

A perda de calor total por metro quadrado da parede é de aproximadamente
\boxed{36\,000\;\mathrm{W/m^2}}.

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