4.53 Uma placa vertical tem um orifício de bordas vivas no seu centro. Um jato de água com velocidade V atinge a placa concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa requerida para manter a placa no lugar, se o jato que sai do orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, D= 100 mm e d=25 \mathrm{~mm}. Trace um gráfico da força requerida versus a razão de diâmetros para uma faixa adequada de diâmetros d.

Passo 1

O enunciado trata de um jato de água de diâmetro D e velocidade V que incide sobre uma placa vertical com orifício central de diâmetro d. O jato que passa pelo orifício sai com a mesma velocidade V. Precisamos aplicar a conservação de momento linear na direção normal à placa para encontrar a força externa F que mantém a placa em equilíbrio.

Passo 2

Definimos um volume de controle que envolve o jato antes de incidir na placa e o jato que sai pelo orifício. A parte do fluido que incide na placa e que não passa pelo orifício é defletida tangencialmente à superfície, não contribuindo para o momento na direção normal. Assim, as únicas contribuições de momento normal vêm do jato de entrada e do jato de saída pelo orifício.

Passo 3

Pela equação de momento na direção normal:
F = \dot m_{\text{in}}\,V_{\text{in}} \;-\;\dot m_{\text{out}}\,V_{\text{out}}
onde
\dot m_{\text{in}}=\rho\,Q_{\text{in}}, \dot m_{\text{out}}=\rho\,Q_{\text{out}},
\;Q_{\text{in}}=A_{1}V, \;Q_{\text{out}}=A_{2}V,
A_{1}=\tfrac{\pi}{4}D^{2}, A_{2}=\tfrac{\pi}{4}d^{2}, e \,V_{\text{in}}=V_{\text{out}}=V.

Passo 4

Substituindo:
F = \rho\bigl(A_{1}V\bigr)V \;-\;\rho\bigl(A_{2}V\bigr)V =\rho\,V^{2}\,\bigl(A_{1}-A_{2}\bigr) =\rho\,V^{2}\,\frac{\pi}{4}\,\bigl(D^{2}-d^{2}\bigr).

Passo 5

Avaliação numérica para V=5,m/s, D=0,100,m, d=0,025,m e \rho=1000,kg/ m^{3}:
D^{2}-d^{2}=0,100^{2}-0,025^{2}=0,01-0,000625=0,009375
F = 1000 \times 25 \times \frac{\pi}{4} \times 0,009375 \approx 184\text{ N}.

Passo 6

Em função da razão \lambda=\dfrac{d}{D}, escrevemos
F(\lambda) =\rho\,V^{2}\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,\bigl(1-\lambda^{2}\bigr).
Para 0\le\lambda\le1, o gráfico de F versus \lambda é uma parábola que parte de
\,F_{\max}=\rho V^{2}\tfrac{\pi D^{2}}{4} em \lambda=0 e decresce até zero em \lambda=1.

Resposta

Expressão geral:
F=\rho\,V^{2}\,\frac{\pi}{4}\bigl(D^{2}-d^{2}\bigr).
Valor numérico:
F\approx184\text{ N}.
Gráfico: F(\lambda)=\rho V^{2}\tfrac{\pi D^{2}}{4}(1-\lambda^{2}), para 0\le\lambda\le1.

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