• 23 Um feixe de moléculas de hídrogênio \left(\mathrm{H}_{2}\right) está direcionado para uma parede, fazendo um ângulo de 55^{\circ} \mathrm{com} a normal à parede. As moléculas do feixe têm uma velocidade de 1,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s} e uma massa de 3,3 \times 10^{-24} \mathrm{~g}. O feixe atinge a parede em uma área de 2,0 \mathrm{cm}^{2}, a uma taxa de 10^{21} moléculas por segundo. Qual é a pressão do feixe sobre a parede?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado pede: calcular a pressão do feixe sobre a parede.
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade das moléculas: \;v=1{,}0\\ \mathrm{km/s}.
    • Massa de cada molécula: \;m=3{,}3\times10^{-24}\\ \mathrm{g}.
    • Ângulo entre o feixe e a normal à parede: \;\theta=55^\circ.
    • Taxa de chegada de moléculas: \;N=10^{21}\\ \text{moléculas/s}é.
    • Área da região onde o feixe incide: \;A=2{,}0\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 2

Converter todas as grandezas para unidades SI (para que o resultado de pressão saia em pascal).
  • Converter velocidade para \mathrm{m/s}: v = 1{,}0\\ \mathrm{km/s} = 1000\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter massa para quilogramas: m = 3{,}3\times10^{-24}\\ \mathrm{g} = 3{,}3\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Converter área para metros quadrados: A = 2{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 3

Entender como a colisão transfere quantidade de movimento (momentum) à parede — conceito e fórmula.
  • Quando uma partícula atinge uma parede lisa e é refletida elasticamente (suposição padrão neste tipo de problema), a componente da velocidade perpendicular (normal) à parede inverte de sinal, enquanto a componente paralela permanece (em módulo) aproximadamente igual.
  • Se \;v_n é a componente normal da velocidade antes da colisão, então antes a componente é \;+v_n (tomando positivo vindo do feixe em direção à parede) e depois da colisão passa a \;-v_n. A variação de momentum (vetorial) na direção normal é, em magnitude: \Delta p = m(-v_n) - m(v_n) = -2m v_n.Em módulo, cada molécula transfere à parede um momentum por colisão igual a \;2 m v_n.
  • Aqui \;v_n é a projeção da velocidade sobre a normal: v_n = v\cos\theta,onde \;v é a velocidade e \theta é o ângulo entre a velocidade e a normal (dado).

Passo 4

Escrever a relação entre pressão, força e taxa de colisões.
  • Força total exercida pela chegada contínua de moléculas é a soma (por segundo) das variações de momentum: F = N \cdot (2 m v_n) = 2 N m v\cos\theta.Aqui:
    • \;F é a força média em newtons,
    • \;N é o número de moléculas que atingem a parede por segundo,
    • \;m massa de cada molécula,
    • \;v\cos\theta componente normal da velocidade.
  • A pressão é força por unidade de área: P = \frac{F}{A} = \frac{2 N m v\cos\theta}{A}.

Passo 5

Substituir as quantidades convertidas na fórmula e preparar cálculo numérico.
  • Relembrando os valores já convertidos: N = 10^{21}\\ (\text{s}^{-1}),\quad m = 3{,}3\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},\quad v = 1000\\ \mathrm{m/s},
\theta = 55^\circ,\quad A = 2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • A fórmula a usar é: P = \frac{2 N m v \cos\theta}{A}.

Passo 6

Calcular a componente \cos\theta e a quantidade 2 N m v \cos\theta passo a passo.
  • Calcular \cos(55^\circ). Usando valor numérico: \cos(55^\circ)\approx 0{,}573576\ldots
  • Calcular primeiro N m: N m = 10^{21}\times 3{,}3\times10^{-27} = 3{,}3\times10^{-6}.
  • Multiplicar por 2: 2 N m = 6{,}6\times10^{-6}.
  • Multiplicar por v=1000\\ \mathrm{m/s}: 2 N m v = 6{,}6\times10^{-6}\times1000 = 6{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot m/s^2} \quad(\text{isto é, N}).é
  • Multiplicar por \cos(55^\circ): 2 N m v\cos(55^\circ) \approx 6{,}6\times10^{-3}\times0{,}573576 \approx 3{,}7856\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Dividir a força pela área para obter a pressão.
  • Agora: P = \frac{3{,}7856\times10^{-3}\\ \mathrm{N}}{2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2} \approx 18{,}928\\ \mathrm{Pa}.
  • Arredondando razoavelmente (dados têm poucas cifras significativas), podemos escrever: P \approx 18{,}9\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{aproximadamente }19\\ \mathrm{Pa}).

Passo 8

Resumo do raciocínio (didático e prático) para a prova — como fazer rápido:
  • Converter unidades para SI.
  • Usar que só a componente normal contribui para troca de momentum, e reflexão elástica dá \Delta p = 2 m v\cos\theta.
  • Força média = (taxa de partículas) × (momentum transferido por partícula).
  • Pressão = força / área.
    Seguindo esses quatro passos você resolve problemas similares rapidamente.

Resposta

P \approx 18{,}9\\ \mathrm{Pa}

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