69 O invólucro e a cesta de um balāo de ar quente têm um peso total de 2,45 \mathrm{kN} e o invólucro tem uma capacidade (volume) de 2,18 \times 10^{3} \mathrm{~m}^{3}. Qual deve ser a temperatura do ar no interior do invólucro, quando este está totalmente inflado, para que o balāo tenha uma capacidade de levantamento (força) de 2,67 \mathrm{kN} (além do peso do balão)? Suponha que o ar ambiente, a 20,0^{\circ} \mathrm{C}, tem um peso especifico de 11,9 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}, uma massa molecular de 0,028 \mathrm{~kg} / \mathrm{mol} e está a uma pressão de 1,0 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura do ar dentro do invólucro (quando totalmente inflado) necessária para que o balão tenha uma capacidade de levantamento de 2{,}67\\ \mathrm{kN} além do peso do próprio balão.
Informações fornecidas:
  • Peso do invólucro + cesta (peso do balão): 2{,}45\\ \mathrm{kN}.
  • Volume do invólucro: 2{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Capacidade de levantamento desejada (além do peso do balão): 2{,}67\\ \mathrm{kN}.
  • Peso específico do ar ambiente (isto é, peso por unidade de volume) à 20{,}0^\circ\mathrm{C}: 11{,}9\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Massa molecular do ar: 0{,}028\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Pressão: 1{,}0\\ \mathrm{atm} (usarei p=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
  • Constante universal dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que precisamos achar: a temperatura absoluta T (ou em °C) do ar interior tal que, quando o invólucro está cheio com volume dado, o balão consiga sustentar o seu próprio peso e ainda ter 2{,}67\\ \mathrm{kN} de força de levantamento disponível para carga.

Passo 2

Conceito físico básico (explicando devagar):
  • A força de empuxo (buoyancy) sobre o invólucro cheio de ar corresponde ao peso do ar deslocado, isto é, ao peso do ar ambiente contido no volume V. Como foi dado o peso específico do ar ambiente, o empuxo é simplesmente:
\text{Empuxo} = w_{\text{amb}} \cdot V,
onde w_{\text{amb}} é o peso por volume do ar ambiente ( \mathrm{N/m^{3}}) e V é o volume ( \mathrm{m^{3}}).
  • Dentro do invólucro há ar quente com certo peso (peso do ar interno). Esse peso tende a reduzir o empuxo líquido disponível para levantar o balão e cargas.
  • O empuxo líquido disponível para levantar coisas (incluindo o peso do próprio balão) é:
\text{Empuxo líquido} = \text{Empuxo} - \text{peso do ar interior}.í
  • Queremos que, após sustentar o peso do balão, ainda sobre 2{,}67\\ \mathrm{kN} para carga. Assim, a condição é:
\text{Empuxo} - \text{peso do ar interior} - \text{peso do balão} = 2{,}67\\ \mathrm{kN}.ã
Essa equação permite resolver o peso do ar interior; depois convertemos esse peso em densidade e daí em temperatura usando a equação dos gases ideais.

Passo 3

Escrever a equação e isolar o peso do ar interior.
Defina:
  • V = volume do invólucro =2{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • w_{\text{amb}} = peso específico do ar ambiente =11{,}9\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • W_{\text{balão}}ã = peso do balão =2{,}45\\ \mathrm{kN}=2450\\ \mathrm{N}.
  • L = capacidade de levantamento desejada =2{,}67\\ \mathrm{kN}=2670\\ \mathrm{N}.
  • W_{\text{ar,int}} = peso do ar interior (total, em N).
A equação é:
w_{\text{amb}}V - W_{\text{ar,int}} - W_{\text{balão}} = L.ã
Isolando W_{\text{ar,int}}:
W_{\text{ar,int}} = w_{\text{amb}}V - W_{\text{balão}} - L.ã

Passo 4

Calcular numericamente o empuxo ( w_{\text{amb}}V).
w_{\text{amb}}V = 11{,}9\\ \mathrm{N/m^{3}} \times 2{,}18\times10^{3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Fazendo a conta:
w_{\text{amb}}V = 11{,}9 \times 2180 = 25942\\ \mathrm{N}.
Ou seja, o empuxo total (peso do ar deslocado) é \,25942\\ \mathrm{N} (aprox. 25{,}94\\ \mathrm{kN}).

Passo 5

Calcular o peso do ar interior que resta quando exigimos a capacidade de levantamento pedida.
Usando a fórmula do Passo 3:
W_{\text{ar,int}} = 25942\\ \mathrm{N} - 2450\\ \mathrm{N} - 2670\\ \mathrm{N}.
W_{\text{ar,int}} = 25942 - 5120 = 20822\\ \mathrm{N}.
Portanto o ar dentro do invólucro deve ter um peso total de 20822\\ \mathrm{N}.
O peso por unidade de volume do ar interior (peso específico interno) é:
w_{\text{int}} = \frac{W_{\text{ar,int}}}{V} = \frac{20822\\ \mathrm{N}}{2180\\ \mathrm{m^{3}}}.
Fazendo a divisão:
w_{\text{int}} \approx 9{,}5514\\ \mathrm{N/m^{3}}.

Passo 6

Converter peso específico interno em densidade \rho_{\text{int}}.
Por definição, peso específico w = \rho g. Logo
\rho_{\text{int}} = \frac{w_{\text{int}}}{g}.
Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\rho_{\text{int}} = \frac{9{,}5514}{9{,}81}\\ \mathrm{kg/m^{3}} \approx 0{,}9737\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Explicando: a densidade do ar quente dentro do balão é menor que a do ar ambiente (o que dá o empuxo). Encontramos \rho_{\text{int}} a partir do peso por volume dividido por g.

Passo 7

Usar a equação dos gases ideais para ligar densidade e temperatura.
A forma útil aqui é:
p = \rho R_{\text{espec}} T,
onde R_{\text{espec}}=\dfrac{R}{M} é a constante específica do gás e M é a massa molecular (em \mathrm{kg/mol}). Rearranjando para T:
T = \frac{p}{\rho}\cdot\frac{M}{R} = \frac{pM}{\rho R}.
Explicando as variáveis:
  • p é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • M é a massa molecular do ar ( 0{,}028\\ \mathrm{kg/mol}),
  • \rho é a densidade que acabamos de calcular,
  • R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.

Passo 8

Calcular T numericamente.
Valores:
p = 1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},\qquad M=0{,}028\\ \mathrm{kg/mol},\qquad \rho_{\text{int}}=0{,}9737\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Aplicando
T = \frac{pM}{\rho R} = \frac{(1{,}013\times10^{5})(0{,}028)}{0{,}9737\times8{,}314}.
Calculemos passo a passo:
pM = 1{,}013\times10^{5}\times0{,}028 = 2836{,}4\quad(\mathrm{Pa\cdot kg/mol}).
\rho R = 0{,}9737\times8{,}314 \approx 8{,}0949.
T = \frac{2836{,}4}{8{,}0949} \approx 350{,}3\\ \mathrm{K}.
Converter para Celsius:
T_{\text{(°C)}} = T - 273{,}15 \approx 350{,}3 - 273{,}15 = 77{,}2^\circ\mathrm{C}.
Interpretação final (rápida): o ar dentro do invólucro precisa estar bem aquecido (≈ 77{,}2^\circ\mathrm{C}) para que, com o volume dado, o balão sustente seu próprio peso e ainda levante 2{,}67\\ \mathrm{kN} de carga.
Força para animar: é um aquecimento razoável — não é absurdo para um balão de ar quente — mas exige combustível e cuidado.

Resposta

T \approx 350{,}3\\ \mathrm{K} \approx 77{,}2^\circ\mathrm{C}

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