69 O invólucro e a cesta de um balāo de ar quente têm um peso total de
e o invólucro tem uma capacidade (volume) de
. Qual deve ser a temperatura do ar no interior do invólucro, quando este está totalmente inflado, para que o balāo tenha uma capacidade de levantamento (força) de
(além do peso do balão)? Suponha que o ar ambiente, a
, tem um peso especifico de
, uma massa molecular de
e está a uma pressão de
.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura do ar dentro do invólucro (quando totalmente inflado) necessária para que o balão tenha uma capacidade de levantamento de
além do peso do próprio balão.
Informações fornecidas:
- Peso do invólucro + cesta (peso do balão):
. - Volume do invólucro:
. - Capacidade de levantamento desejada (além do peso do balão):
. - Peso específico do ar ambiente (isto é, peso por unidade de volume) à
: . - Massa molecular do ar:
. - Pressão:
(usarei ). - Constante universal dos gases:
. - Usarei
.
O que precisamos achar: a temperatura absoluta
(ou em °C) do ar interior tal que, quando o invólucro está cheio com volume dado, o balão consiga sustentar o seu próprio peso e ainda ter
de força de levantamento disponível para carga.
Passo 2
Conceito físico básico (explicando devagar):
- A força de empuxo (buoyancy) sobre o invólucro cheio de ar corresponde ao peso do ar deslocado, isto é, ao peso do ar ambiente contido no volume
. Como foi dado o peso específico do ar ambiente, o empuxo é simplesmente:
onde
é o peso por volume do ar ambiente (
) e
é o volume (
).
- Dentro do invólucro há ar quente com certo peso (peso do ar interno). Esse peso tende a reduzir o empuxo líquido disponível para levantar o balão e cargas.
- O empuxo líquido disponível para levantar coisas (incluindo o peso do próprio balão) é:
- Queremos que, após sustentar o peso do balão, ainda sobre
para carga. Assim, a condição é:
Essa equação permite resolver o peso do ar interior; depois convertemos esse peso em densidade e daí em temperatura usando a equação dos gases ideais.
Passo 3
Escrever a equação e isolar o peso do ar interior.
Defina:
-
= volume do invólucro . -
= peso específico do ar ambiente . -
= peso do balão . -
= capacidade de levantamento desejada . -
= peso do ar interior (total, em N).
A equação é:
Isolando
:
Passo 4
Calcular numericamente o empuxo (
).
Fazendo a conta:
Ou seja, o empuxo total (peso do ar deslocado) é
(aprox.
).
Passo 5
Calcular o peso do ar interior que resta quando exigimos a capacidade de levantamento pedida.
Usando a fórmula do Passo 3:
Portanto o ar dentro do invólucro deve ter um peso total de
.
O peso por unidade de volume do ar interior (peso específico interno) é:
Fazendo a divisão:
Passo 6
Converter peso específico interno em densidade
.
Por definição, peso específico
. Logo
Usando
:
Explicando: a densidade do ar quente dentro do balão é menor que a do ar ambiente (o que dá o empuxo). Encontramos
a partir do peso por volume dividido por
.
Passo 7
Usar a equação dos gases ideais para ligar densidade e temperatura.
A forma útil aqui é:
onde
é a constante específica do gás e
é a massa molecular (em
). Rearranjando para
:
Explicando as variáveis:
-
é a pressão absoluta (em ), -
é a massa molecular do ar ( ), -
é a densidade que acabamos de calcular, -
.
Passo 8
Calcular
numericamente.
Valores:
Aplicando
Calculemos passo a passo:
Converter para Celsius:
Interpretação final (rápida): o ar dentro do invólucro precisa estar bem aquecido (≈
) para que, com o volume dado, o balão sustente seu próprio peso e ainda levante
de carga.
Força para animar: é um aquecimento razoável — não é absurdo para um balão de ar quente — mas exige combustível e cuidado.