Questão Extra (2,0 pontos) ----
A partir das equações horárias do MUV para a velocidade e o espaço, demonstre matematicamente a Equação de Torricelli.
OBS.: Apresente todos os cálculos
A partir das equações horárias do MUV para a velocidade e o espaço, demonstre matematicamente a Equação de Torricelli.
Passo 1
O enunciado pede: a partir das equações horárias do movimento uniformemente variado (MUV) para a velocidade e para o espaço, demonstrar matematicamente a Equação de Torricelli.
Informações dadas (as equações horárias que devo usar):
Informações dadas (as equações horárias que devo usar):
- Equação da velocidade em função do tempo:
- Equação do espaço em função do tempo:
O objetivo é eliminar o tempo
entre essas duas equações e obter a relação que liga
,
,
e
— ou seja, chegar à Equação de Torricelli.
Passo 2
Vamos entender claramente cada símbolo (isso é importante para não se perder durante a álgebra):
-
é a velocidade no instante ; aqui escrevemos simplesmente para a velocidade naquele instante. -
é a velocidade inicial (no instante ). -
é a aceleração, que no MUV é constante (número fixo). -
é o tempo transcorrido desde o instante inicial. -
é a posição no instante ; escrevemos . -
é a posição inicial (em ).
Breve justificativa das equações (para fixar): se
é constante, por definição
. Integrando de
a
:
o que dá
. Integrando
novamente em
obtém-se a expressão para
dada acima. Só para lembrar o porquê das fórmulas — mas agora vamos usá-las.
Passo 3
Queremos eliminar o tempo
. Da equação da velocidade isolamos
. Supondo
(o caso
é movimento retilíneo uniforme e será comentado depois):
Expliquei: isolei
subtraindo
e dividindo por
.
Passo 4
Substituir essa expressão de
na equação do espaço. Escrevo a equação do espaço e substituo termo a termo:
Substituindo
,
Passo 5
Agora desenvolvo passo a passo as parcelas para simplificar. Primeiro o termo linear em
:
Segundo o termo quadrático:
Substituindo essas expressões em
:
Passo 6
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores (isso facilita a álgebra):
Agora expandimos
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Somamos os termos no lado direito de
:
Agora agrupamos termo a termo:
- Os termos em
: e se cancelam (dão zero). - Os termos em
: . - Resta o termo
.
Logo o lado direito fica:
Portanto:
Passo 8
Multiplico ambos os lados por
para isolar
:
Rearranjando:
Pronto — essa é a Equação de Torricelli.
Passo 9
Comentários finais e observações úteis para prova:
- A dedução supôs
constante e . Se (movimento retilíneo uniforme), então e ; a fórmula acima se reduz corretamente a (identidade), então não há contradição. - Fórmula muito prática: ela relaciona velocidade com deslocamento sem precisar do tempo. Útil em problemas onde o tempo não aparece ou não é pedido.
- Exemplo rápido para fixar: se
(partida do repouso) e , então . Por exemplo, com e ,
Isso mostra como aplicar a fórmula num caso concreto — mas na prova geralmente pedem só a dedução.