Questão Extra (2,0 pontos) ----
A partir das equações horárias do MUV para a velocidade e o espaço, demonstre matematicamente a Equação de Torricelli.
OBS.: Apresente todos os cálculos

Passo 1

O enunciado pede: a partir das equações horárias do movimento uniformemente variado (MUV) para a velocidade e para o espaço, demonstrar matematicamente a Equação de Torricelli.
Informações dadas (as equações horárias que devo usar):
  • Equação da velocidade em função do tempo: v = v_0 + a\,t
  • Equação do espaço em função do tempo: x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2
O objetivo é eliminar o tempo (t) entre essas duas equações e obter a relação que liga v, v_0, a e x-x_0 — ou seja, chegar à Equação de Torricelli.

Passo 2

Vamos entender claramente cada símbolo (isso é importante para não se perder durante a álgebra):
  • \,v(t) é a velocidade no instante t; aqui escrevemos simplesmente \,v para a velocidade naquele instante.
  • \,v_0 é a velocidade inicial (no instante t=0).
  • \,a é a aceleração, que no MUV é constante (número fixo).
  • \,t é o tempo transcorrido desde o instante inicial.
  • \,x(t) é a posição no instante t; escrevemos \,x.
  • \,x_0 é a posição inicial (em t=0).
Breve justificativa das equações (para fixar): se \,a é constante, por definição \,a=\dfrac{dv}{dt}. Integrando de 0 a t:
\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} a\,dt \quad\Rightarrow\quad v-v_0 = a\,t,
o que dá \,v=v_0+a\,t. Integrando \,v(t) novamente em t obtém-se a expressão para x(t) dada acima. Só para lembrar o porquê das fórmulas — mas agora vamos usá-las.

Passo 3

Queremos eliminar o tempo (t). Da equação da velocidade isolamos t. Supondo \,a\neq 0 (o caso \,a=0 é movimento retilíneo uniforme e será comentado depois):
v = v_0 + a\,t \quad\Rightarrow\quad t = \dfrac{v - v_0}{a}.
Expliquei: isolei t subtraindo v_0 e dividindo por a.

Passo 4

Substituir essa expressão de t na equação do espaço. Escrevo a equação do espaço e substituo termo a termo:
x = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2.
Substituindo t = \dfrac{v - v_0}{a},
x = x_0 + v_0\!\left(\dfrac{v - v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2}\,a\!\left(\dfrac{v - v_0}{a}\right)^{\!2}.

Passo 5

Agora desenvolvo passo a passo as parcelas para simplificar. Primeiro o termo linear em t:
v_0\,t = v_0\cdot\dfrac{v - v_0}{a} = \dfrac{v_0 v - v_0^2}{a}.
Segundo o termo quadrático:
\tfrac{1}{2}\,a\,t^2 = \tfrac{1}{2}\,a\cdot\dfrac{(v - v_0)^2}{a^2} = \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(v - v_0)^2}{a}.
Substituindo essas expressões em x:
x = x_0 + \dfrac{v_0 v - v_0^2}{a} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(v - v_0)^2}{a}.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por \,a para eliminar denominadores (isso facilita a álgebra):
a(x - x_0) = v_0 v - v_0^2 + \tfrac{1}{2}(v - v_0)^2.
Agora expandimos (v - v_0)^2:
(v - v_0)^2 = v^2 - 2v v_0 + v_0^2.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}(v - v_0)^2 = \tfrac{1}{2}v^2 - v v_0 + \tfrac{1}{2}v_0^2.

Passo 7

Somamos os termos no lado direito de a(x-x_0):
v_0 v - v_0^2 + \left(\tfrac{1}{2}v^2 - v v_0 + \tfrac{1}{2}v_0^2\right).
Agora agrupamos termo a termo:
  • Os termos em v_0 v: v_0 v e -v v_0 se cancelam (dão zero).
  • Os termos em v_0^2: -v_0^2 + \tfrac{1}{2}v_0^2 = -\tfrac{1}{2}v_0^2.
  • Resta o termo \tfrac{1}{2}v^2.
Logo o lado direito fica:
\tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 = \tfrac{1}{2}\bigl(v^2 - v_0^2\bigr).
Portanto:
a(x - x_0) = \tfrac{1}{2}\bigl(v^2 - v_0^2\bigr).

Passo 8

Multiplico ambos os lados por 2 para isolar v^2:
2a(x - x_0) = v^2 - v_0^2.
Rearranjando:
v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0).
Pronto — essa é a Equação de Torricelli.

Passo 9

Comentários finais e observações úteis para prova:
  • A dedução supôs \,a constante e \,a\neq 0. Se \,a=0 (movimento retilíneo uniforme), então \,v=v_0 e \,x=x_0+v_0 t; a fórmula acima se reduz corretamente a v^2=v_0^2 (identidade), então não há contradição.
  • Fórmula muito prática: ela relaciona velocidade com deslocamento sem precisar do tempo. Útil em problemas onde o tempo não aparece ou não é pedido.
  • Exemplo rápido para fixar: se \,v_0=0 (partida do repouso) e \,x-x_0=s, então \,v^2=2as. Por exemplo, com a=10 e s=5,
v = \sqrt{2\cdot 10 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10.
Isso mostra como aplicar a fórmula num caso concreto — mas na prova geralmente pedem só a dedução.

Resposta

v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)

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