-10 Um recipiente contém 2 mols de um gás ideal que tem uma massa molar M_{1} e 0.5 mol de um segundo gás ideal que tem uma massa molar M_{2}=3 M_{1}. Que fraçāo da pressāo total sobre a parede do recipiente se deve ao segundo gás? (A explicação da teoria cinética dos gases para a pressão leva à lei das pressões parciais para uma mistura de gases que nāo reagem quimicamente, descoberta experimentalmente: a pressão total exercida por uma mistura de gases é igual à soma das pressōes que os gases exerceriam se cada um ocupasse sozinho o volume do recipiente.)
*11 O ar que inicialmente ocupa 0,140 \mathrm{~m}^{3} à pressāo manométrica de 103,0 \mathrm{kPa} se expande isotermicamente até atingir a pressĩo de 101,3 \mathrm{kPa} e, em seguida, é resfriado à pressão constante até voltar ao volume inicial. Calcule o trabalho realizado pelo ar. (Pressāo manométrica é a diferença entre a pressão real e a pressão atmossériea.)

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Questão 10:
  • Dados:
    • 2 mols do primeiro gás.
    • 0,5 mol do segundo gás.
    • A massa molar do segundo gás é M_{2}=3M_{1} (dado numérico).
  • Pergunta: Que fração da pressão total sobre a parede do recipiente se deve ao segundo gás?
Questão 11:
  • Dados:
    • Volume inicial do ar: V_{1}=0,140\\ \mathrm{m}^{3}.
    • Pressão inicial indicada é manométrica (gauge) de 103{,}0\\ \mathrm{kPa}. Ou seja, a pressão absoluta inicial é a pressão atmosférica mais essa:
      • Pressão atmosférica padrão dada/assumida: p_{\text{atm}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • O ar se expande isotermicamente até a pressão p_{2}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}.
    • Em seguida o gás é resfriado à pressão constante p_{2} até o volume voltar ao volume inicial V_{1}.
  • Pergunta: Calcular o trabalho realizado pelo ar (trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente) durante todo o processo.

Passo 2

Resolução detalhada da Questão 10 — entendimento físico e equações úteis (aulas rápidas e mastigadas):
  • Regra física usada: para uma mistura de gases ideais que não reagem, a pressão total é a soma das pressões parciais (Lei de Dalton). Cada pressão parcial é a pressão que o gás exerceria sozinho ocupando o mesmo volume à mesma temperatura.
  • Para um gás ideal, a pressão é proporcional ao número de moles (ou ao número de moléculas) quando T e V são fixos. Em fórmula: se um gás ideal tem n mols, então \,p\propto n. Mais precisamente, usando a equação dos gases ideais \,pV=nRT, para o mesmo V e T a pressão é proporcional a n.
  • Assim, a fração da pressão total devida a um componente é igual à fração molar desse componente: \text{fração}_i=\frac{n_i}{\sum_j n_j}.çã
  • Aplicando aos números do enunciado:
    • n_{1}=2 mols,
    • n_{2}=0,5 mol.
    • Soma: n_{\text{total}}=2+0,5=2,5 mol.
  • Portanto a fração da pressão devido ao segundo gás é \frac{n_{2}}{n_{\text{total}}}=\frac{0,5}{2,5}=\frac{1}{5}=0{,}2.
  • Observação didática: a informação M_{2}=3M_{1} não entra no cálculo da pressão parcial quando os dois gases ocupam o mesmo volume e têm a mesma temperatura; pressão depende de número de moles, não de massas, para gases ideais nas mesmas T,V. Pode ser confusa, mas é intencional para testar se você lembra da dependência correta.

Passo 3

Resposta final e forma de apresentar a Questão 10 (resumo prático para a prova):
  • Método curto para a prova: calcule a fração molar x_{2}=n_{2}/(n_{1}+n_{2}). Se os números fossem dados em número de moléculas N, usar N_2/(N_1+N_2) dá a mesma coisa.
  • No caso: a fração é \dfrac{1}{5}=0{,}2 (ou 20\%).

Passo 4

Resolução detalhada da Questão 11 — interpretação das pressões e equações que vamos usar:
  • Primeiro, converter a pressão manométrica inicial em pressão absoluta. Pressão manométrica significa p_{\text{man}}=p_{\text{abs}}-p_{\text{atm}}. Então p_{1}=p_{\text{atm}}+p_{\text{man}}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}+103{,}0\\ \mathrm{kPa}=204{,}3\\ \mathrm{kPa}.Vou sempre escrever pressões em unidades SI (Pascals) ao calcular trabalho, lembrando que 1\\ \mathrm{kPa}=10^{3}\\ \mathrm{Pa}: p_{1}=204{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa},\qquad p_{2}=101{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Esquema do processo (para não nos perder):
    • Estado A: (p_{1},V_{1}).
    • Expansão isotérmica A → B até p_{2}, resultando em volume V_{2}.
    • Resfriamento isobárico B → C a p_{2} até o volume voltar a V_{1}. Estado final C: (p_{2},V_{1}).
  • Trabalho total W realizado pelo gás é soma dos trabalhos nas duas etapas: W=W_{\text{isot}}+W_{\text{isob}}.
  • Fórmulas que vamos usar e por que:
    • Para processo isotérmico reversível de gás ideal, o trabalho é W_{\text{isot}}=nRT\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).Explicação: em isoterma T constante, p=\dfrac{nRT}{V}, então \int p\,dV = nRT\int_{V_{1}}^{V_{2}}\dfrac{dV}{V}=nRT\ln(V_{2}/V_{1}). Outra forma prática (sem conhecer n e T separadamente) é usar p_{1}V_{1}=nRT, logo W_{\text{isot}}=p_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
    • Para processo isobárico (pressão constante p), o trabalho realizado pelo gás é W_{\text{isob}}=p\,(V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}).Aqui, para a segunda etapa V_{\text{inicial}}=V_{2} e V_{\text{final}}=V_{1}, portanto W_{\text{isob}}=p_{2}\,(V_{1}-V_{2}).
    • Relação entre V_{2} e os outros dados pela isoterma: p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}, logo V_{2}=\frac{p_{1}V_{1}}{p_{2}}.
  • Substituindo V_{2} em W_{\text{isot}} podemos escrever o trabalho total em forma conveniente sem precisar de n ou T: W = p_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) + p_{2}(V_{1}-V_{2}).Usando \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{p_{1}}{p_{2}} obtemos uma forma muito prática: W = V_{1}\Bigl[p_{1}\ln\!\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right) + p_{2}-p_{1}\Bigr].Essa expressão é útil porque só envolve p_{1},p_{2},V_{1}, todos conhecidos.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo (sem pular etapas):
  • Converter pressões para Pascal: p_{1}=204{,}3\\ \mathrm{kPa}=204{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}, \qquad p_{2}=101{,}3\\ \mathrm{kPa}=101{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Calcular a razão \dfrac{p_{1}}{p_{2}}: \frac{p_{1}}{p_{2}}=\frac{204{,}3}{101{,}3}\approx 2{,}0168.
  • Calcular o logaritmo natural: \ln\!\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right)\approx \ln(2{,}0168)\approx 0{,}7015.
  • Calcular p_{1}V_{1}: p_{1}V_{1}=(204{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{Pa})\times(0{,}140\\ \mathrm{m}^{3})=28602\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho isotérmico: W_{\text{isot}}=p_{1}V_{1}\ln\!\left(\frac{p_{1}}{p_{2}}\right) \approx 28602\times0{,}7015\approx 2,006\times10^{4}\\ \mathrm{J}.(ou seja, W_{\text{isot}}\approx 20064\\ \mathrm{J}; mostrei arredondamento intermédio).
  • Calcular V_{2} usando V_{2}=\dfrac{p_{1}V_{1}}{p_{2}}: V_{2}=\frac{28602}{101{,}3\times10^{3}}\\ \mathrm{m}^{3}\approx 0{,}2824\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Trabalho isobárico na segunda etapa: W_{\text{isob}}=p_{2}(V_{1}-V_{2})=101{,}3\times10^{3}\times(0{,}140-0{,}2824)\\ \mathrm{J}.Calcule a diferença de volumes: V_{1}-V_{2}\approx -0{,}1424\\ \mathrm{m}^{3}, portanto W_{\text{isob}}\approx 101{,}3\times10^{3}\times(-0{,}1424)\approx -1,442\times10^{4}\\ \mathrm{J}.(ou seja, W_{\text{isob}}\approx -14420\\ \mathrm{J}; trabalho negativo porque o gás é comprimido na segunda etapa).
  • Trabalho total: W=W_{\text{isot}}+W_{\text{isob}}\approx 20064\\ \mathrm{J} -14420\\ \mathrm{J}\approx 5634\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando para três algarismos significativos, W\approx 5{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{J}=5{,}63\\ \mathrm{kJ}.

Passo 6

Interpretação física final (motivação curta para a prova):
  • O sinal positivo de W significa que, no conjunto do processo (expansão isotérmica maior seguida de compressão isobárica menor), o gás realizou trabalho líquido sobre o ambiente.
  • Dica rápida para a prova: sempre converta pressões manométricas para absolutas antes de usar a equação dos gases. Para somar/subtrair pressões, mantenha sempre as mesmas unidades (Pa preferível para trabalho em J).

Resposta

\dfrac{1}{5} (ou 0{,}2 = 20\%).
W\approx 5{,}63\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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