3.23 Ao gastar \ 10.000 agora e$25.000 daqui a 3 anos, uma empresa de galvanização de metais pode aumentar sua receita nos anos 4 a 10 . A uma taxa de juros deçã12 %$ ao ano, qual o valor de receita extra ao ano seria necessário nos anos 4 a 10, para que a empresa recuperasse o investimento?

Passo 1

O enunciado diz que a empresa faz dois desembolsos e recebe benefícios anuais depois. Precisamos achar qual é o valor anual de receita extra, constante nos anos 4 a 10, que torna o investimento indiferente financeiramente (ou seja, NPV = 0) a uma taxa de juros de 12\% ao ano.
Informações dadas:
\begin{aligned} &\text{Desembolso no instante }0: &&\$\,10.000,\\\ &\text{Desembolso no instante }3: &&\$\,25.000,\\\ &\text{Receitas extras anuais: } &&\text{valor constante }R\text{ nos anos }4\text{ a }10,\\\ &\text{Taxa de juros anual: } &&i=12\%=0,12. \end{aligned}
O que o problema pergunta:
\text{Determinar o valor }R\text{ (por ano) tal que o valor presente das receitas compens e iguale os desembolsos.}

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Valor presente (PV): transformar um valor recebido no futuro para o instante 0 usando desconto pela taxa i. A regra básica é que um valor X recebido no instante k vale hoje
\text{PV} = \frac{X}{(1+i)^{k}}.
Aqui i é a taxa por período (aqui ano) e k é o número de períodos até o recebimento.
  • Anuidade imediata (pagamentos iguais R nos instantes 1,2,\dots,n): o valor presente no instante 0 é
\text{PV}_{\text{anuidade}} = R\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicação das variáveis: R é o pagamento periódico, n é o número de pagamentos, i a taxa por período. Essa fórmula soma geometricamente \sum_{k=1}^{n} R(1+i)^{-k}.
  • Se a anuidade começar em um instante diferente (por exemplo, a primeira parcela no instante t_0+1 e queremos o PV em t_0), usamos a mesma fórmula aplicada ao tempo adequado; para trazer esse PV ao tempo 0 multiplicamos por (1+i)^{-t_0}.
No nosso caso as receitas vão de t=4 até t=10 (são 7 pagamentos). Podemos ver isso como uma anuidade de n=7 cujas parcelas começam no instante 4. O PV em t=0 das receitas é:
\text{PV}_{\text{receitas}} = R\cdot \frac{1-(1+i)^{-7}}{i}\cdot (1+i)^{-3},
porque a fórmula da anuidade dá o PV um período antes da primeira parcela; aqui aplicamos essa fórmula no instante t=3 (um período antes de t=4) e depois trazemos do t=3 para t=0 com o fator (1+i)^{-3}.

Passo 3

Calcular o valor presente dos desembolsos (custos) no instante 0.
Desembolso imediato: \$\,10.000 já está em t=0, então seu PV é \$\,10.000.
Desembolso em t=3: usamos desconto
(1+i)^{3}=(1{,}12)^{3}=1{,}404928.
Logo o PV do desembolso de \$\,25.000 no instante 0 é
\frac{25.000}{(1{,}12)^{3}}=\frac{25.000}{1{,}404928}\approx \$\,17.794{,}5.
Somando os dois desembolsos obtemos o PV total dos custos:
\text{PV}_{\text{custos}}=10.000+17.794{,}5=\$\,27.794{,}5.

Passo 4

Calcular o valor presente, em função de R, das receitas nos anos 4 a 10.
Primeiro calculemos (1+i)^{7} para obter (1+i)^{-7}:
(1{,}12)^{7}\approx 2{,}2121856874
portanto
(1{,}12)^{-7}\approx 0{,}452071.
Usamos a fórmula da anuidade com n=7 e i=0{,}12:
\frac{1-(1+i)^{-7}}{i}=\frac{1-0{,}452071}{0{,}12}\approx \frac{0{,}547929}{0{,}12}\approx 4{,}56599.
Agora trazemos esse PV do instante 3 para o instante 0 multiplicando por (1+i)^{-3}. Já calculamos (1+i)^{-3}=(1{,}12)^{-3}\approx 0{,}71178. Assim o fator total que multiplica R é
\left(\frac{1-(1+i)^{-7}}{i}\right)\!(1+i)^{-3}\approx 4{,}56599\times 0{,}71178\approx 3{,}24990.
Portanto
\text{PV}_{\text{receitas}} = R \times 3{,}24990\quad(\text{aprox}).

Passo 5

Igualar PV das receitas ao PV dos custos para ter NPV = 0 e resolver para R:
R\cdot 3{,}24990 = 27.794{,}5.
Logo
R = \frac{27.794{,}5}{3{,}24990}\approx \$\,8.553.

Passo 6

Interpretação e arredondamento: o resultado indica que, com taxa de 12\% ao ano, a empresa precisa gerar aproximadamente \$\,8.553 por ano, nos anos 4 a 10 (7 anos), para que o valor presente dessas receitas cubra os desembolsos de \$\,10.000 agora e \$\,25.000 em 3 anos.

Resposta

\$\,8.553 (aproximadamente por ano, nos anos 4 a 10)

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