3.23 Ao gastar
10.000
$25.000
12 %$ ao ano, qual o valor de receita extra ao ano seria necessário nos anos 4 a 10, para que a empresa recuperasse o investimento?
Passo 1
O enunciado diz que a empresa faz dois desembolsos e recebe benefícios anuais depois. Precisamos achar qual é o valor anual de receita extra, constante nos anos 4 a 10, que torna o investimento indiferente financeiramente (ou seja, NPV = 0) a uma taxa de juros de
ao ano.
Informações dadas:
O que o problema pergunta:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Valor presente (PV): transformar um valor recebido no futuro para o instante
usando desconto pela taxa . A regra básica é que um valor recebido no instante vale hoje
Aqui
é a taxa por período (aqui ano) e
é o número de períodos até o recebimento.
- Anuidade imediata (pagamentos iguais
nos instantes ): o valor presente no instante é
Explicação das variáveis:
é o pagamento periódico,
é o número de pagamentos,
a taxa por período. Essa fórmula soma geometricamente
.
- Se a anuidade começar em um instante diferente (por exemplo, a primeira parcela no instante
e queremos o PV em ), usamos a mesma fórmula aplicada ao tempo adequado; para trazer esse PV ao tempo multiplicamos por .
No nosso caso as receitas vão de
até
(são
pagamentos). Podemos ver isso como uma anuidade de
cujas parcelas começam no instante
. O PV em
das receitas é:
porque a fórmula da anuidade dá o PV um período antes da primeira parcela; aqui aplicamos essa fórmula no instante
(um período antes de
) e depois trazemos do
para
com o fator
.
Passo 3
Calcular o valor presente dos desembolsos (custos) no instante
.
Desembolso imediato:
já está em
, então seu PV é
.
Desembolso em
: usamos desconto
Logo o PV do desembolso de
no instante
é
Somando os dois desembolsos obtemos o PV total dos custos:
Passo 4
Calcular o valor presente, em função de
, das receitas nos anos 4 a 10.
Primeiro calculemos
para obter
:
portanto
Usamos a fórmula da anuidade com
e
:
Agora trazemos esse PV do instante
para o instante
multiplicando por
. Já calculamos
. Assim o fator total que multiplica
é
Portanto
Passo 5
Igualar PV das receitas ao PV dos custos para ter NPV = 0 e resolver para
:
Logo
Passo 6
Interpretação e arredondamento: o resultado indica que, com taxa de
ao ano, a empresa precisa gerar aproximadamente
por ano, nos anos
a
(7 anos), para que o valor presente dessas receitas cubra os desembolsos de
agora e
em 3 anos.