3.25 Dois depósitos iguais, realizados há 20 e 21 anos, respectivamente, possibilitarão a um aposentado sacar $10.000 agora e $ 10.000 por ano, durante 14 anos. Se a conta tiver rendido juros de 10 \% ao ano, qual foi o valor de cada depósito?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Foram feitos dois depósitos iguais, um há 21 anos e outro há 20 anos (ou seja, nos instantes t=-21 e t=-20, tomando o instante presente como t=0).
  • A conta rendeu juros de 10\% ao ano (taxa anual i=0{,}10).
  • O aposentado consegue sacar \$10.000 agora ( t=0) e, além disso, sacar \$10.000 por ano durante 14 anos seguintes.
  • Interpreto o enunciado como: há um saque imediato em t=0 e mais saques em t=1,2,\dots,14 (ou seja, 1 saque agora + 14 saques anuais futuros = 15 saques no total).
O que se pede: determinar o valor de cada depósito (vamos chamar esse valor de X).

Passo 2

Ideia geral e conceitos usados (pausa para a “mini-aula” — bem calma):
  • Time value of money / fator de capitalização: um valor A aplicado a uma taxa i por n anos se transforma no futuro em A(1+i)^n. Aqui, por exemplo, um depósito X feito há k anos vale hoje X(1+i)^k.
  • Valor necessário na data t=0 para financiar os saques é igual ao somatório (ou à acumulação) dos depósitos até t=0. Portanto vamos calcular quanto valem hoje os dois depósitos e igualar isso ao valor necessário para pagar os saques.
  • Para descontar uma série de pagamentos anuais (uma anuidade ordinária), usamos a fórmula do valor presente de uma anuidade: para pagamentos de valor R ao final de cada ano durante n anos à taxa i,
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui a_{\overline{n}|i} é o fator que, multiplicado por R, dá o valor presente (em t=0) dos n pagamentos futuros. Explico as variáveis:
  • R é o valor de cada pagamento periódico (aqui R=\$10.000).
  • n é o número de pagamentos futuros (aqui n=14 para os pagamentos em t=1 até t=14).
  • i é a taxa por período (aqui i=0{,}10).
  • Observação sobre o saque de t=0: esse saque é imediato, portanto já é parte do valor necessário em t=0 e é somado diretamente (não se desconta).

Passo 3

Escrever a equação de equilíbrio entre o que os depósitos acumularam até hoje e o que é necessário para os saques.
  • Acumulação dos depósitos até t=0:
    • Depósito em t=-21 vale hoje X(1+i)^{21}.
    • Depósito em t=-20 vale hoje X(1+i)^{20}.
    • Soma: X\big((1+i)^{21}+(1+i)^{20}\big).
  • Valor necessário hoje para os saques:
    • Saque imediato: \$10.000.
    • Valor presente dos saques em t=1 até t=14: \$10.000\cdot a_{\overline{14}|i}.
    • Soma: \$10.000 + \$10.000\cdot a_{\overline{14}|i} = \$10.000\big(1 + a_{\overline{14}|i}\big).
Igualando:
X\big((1+i)^{21}+(1+i)^{20}\big)=10.000\big(1+a_{\overline{14}|i}\big).

Passo 4

Simplificar a expressão do lado dos depósitos e preparar para resolver para X.
  • Factor comum: (1+i)^{21}+(1+i)^{20}=(1+i)^{20}\big((1+i)+1\big)=(1+i)^{20}(2+i).
  • Com i=0{,}10 temos (2+i)=2{,}1. Então
(1+i)^{21}+(1+i)^{20}=(1{,}1)^{20}\cdot 2{,}1.
  • Assim
X = \frac{10.000\big(1+a_{\overline{14}|0{,}10}\big)}{(1{,}1)^{20}\cdot 2{,}1}.
Agora precisamos calcular a_{\overline{14}|0{,}10} e as potências de 1{,}1.

Passo 5

Calcular a_{\overline{14}|0{,}10} passo a passo.
  • Fórmula:
a_{\overline{14}|0{,}10}=\frac{1-(1{,}1)^{-14}}{0{,}10}.
  • Primeiro calculemos (1{,}1)^{14}. Podemos calcular potências sucessivas: \begin{aligned} (1{,}1)^1&=1{,}1\\\ (1{,}1)^2&=1{,}21\\\ (1{,}1)^3&=1{,}331\\\ (1{,}1)^4&=1{,}4641\\\ (1{,}1)^5&=1{,}61051\\\ (1{,}1)^6&=1{,}771561\\\ (1{,}1)^7&=1{,}9487171\\\ (1{,}1)^8&=2{,}14358881\\\ (1{,}1)^9&=2{,}357947691\\\ (1{,}1)^{10}&=2{,}5937424601\\\ (1{,}1)^{11}&=2{,}85311670611\\\ (1{,}1)^{12}&=3{,}138428376721\\\ (1{,}1)^{13}&=3{,}4522712143931\\\ (1{,}1)^{14}&\approx 3{,}79749833583241. \end{aligned}(aproximações mantidas com boas casas decimais).
  • Então (1{,}1)^{-14}=1/(1{,}1)^{14}\approx 1/3{,}7974983358\approx 0{,}2633749.
  • Agora a_{\overline{14}|0{,}10}=\frac{1-0{,}2633749}{0{,}10}=\frac{0{,}7366251}{0{,}10}=7{,}366251.
  • Valor presente dos saques (lado direito da equação do Passo 3): 10.000\big(1+a_{\overline{14}|0{,}10}\big)=10.000\big(1+7{,}366251\big)=10.000\cdot 8{,}366251=83.662,51.Ou seja, hoje é necessário ter \$83.662,51 para pagar o saque imediato e os 14 saques futuros.

Passo 6

Calcular (1{,}1)^{20} e resolver para X.
  • Podemos obter (1{,}1)^{20}=(1{,}1)^{14}\cdot(1{,}1)^6.
    • Já temos (1{,}1)^{14}\approx 3{,}7974983358.
    • E (1{,}1)^6\approx 1{,}771561.
    • Multiplicando: (1{,}1)^{20}\approx 3{,}7974983358\cdot 1{,}771561\approx 6{,}727500055.
  • Denominador da fórmula para X: (1{,}1)^{20}\cdot 2{,}1\approx 6{,}727500055\cdot 2{,}1=14{,}127750116.
  • Finalmente, X=\frac{83.662,51}{14{,}127750116}\approx 5.921,85662.Arredondando para centavos: X\approx 5.921,86.

Resposta

\$5.921,86

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