3.25 Dois depósitos iguais, realizados há 20 e 21 anos, respectivamente, possibilitarão a um aposentado sacar $10.000 agora e $ 10.000 por ano, durante 14 anos. Se a conta tiver rendido juros de 10 \% ao ano, qual foi o valor de cada depósito?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Foram feitos dois depósitos iguais, um há 21 anos e outro há 20 anos (ou seja, nos instantes t=-21 e t=-20, tomando o instante presente como t=0).
A conta rendeu juros de 10\% ao ano (taxa anual i=0{,}10).
O aposentado consegue sacar \$10.000 agora (t=0) e, além disso, sacar \$10.000 por ano durante 14 anos seguintes.
Interpreto o enunciado como: há um saque imediato em t=0 e mais saques em t=1,2,\dots,14 (ou seja, 1 saque agora + 14 saques anuais futuros = 15 saques no total).
O que se pede: determinar o valor de cada depósito (vamos chamar esse valor de X).
Passo 2
Ideia geral e conceitos usados (pausa para a “mini-aula” — bem calma):
Time value of money / fator de capitalização: um valor A aplicado a uma taxa i por n anos se transforma no futuro em A(1+i)^n. Aqui, por exemplo, um depósito X feito há k anos vale hoje X(1+i)^k.
Valor necessário na data t=0 para financiar os saques é igual ao somatório (ou à acumulação) dos depósitos até t=0. Portanto vamos calcular quanto valem hoje os dois depósitos e igualar isso ao valor necessário para pagar os saques.
Para descontar uma série de pagamentos anuais (uma anuidade ordinária), usamos a fórmula do valor presente de uma anuidade: para pagamentos de valor R ao final de cada ano durante n anos à taxa i,
a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui a_{\overline{n}|i} é o fator que, multiplicado por R, dá o valor presente (em t=0) dos n pagamentos futuros. Explico as variáveis:
R é o valor de cada pagamento periódico (aqui R=\$10.000).
n é o número de pagamentos futuros (aqui n=14 para os pagamentos em t=1 até t=14).
i é a taxa por período (aqui i=0{,}10).
Observação sobre o saque de t=0: esse saque é imediato, portanto já é parte do valor necessário em t=0 e é somado diretamente (não se desconta).
Passo 3
Escrever a equação de equilíbrio entre o que os depósitos acumularam até hoje e o que é necessário para os saques.
Acumulação dos depósitos até t=0:
Depósito em t=-21 vale hoje X(1+i)^{21}.
Depósito em t=-20 vale hoje X(1+i)^{20}.
Soma: X\big((1+i)^{21}+(1+i)^{20}\big).
Valor necessário hoje para os saques:
Saque imediato: \$10.000.
Valor presente dos saques em t=1 até t=14: \$10.000\cdot a_{\overline{14}|i}.
Valor presente dos saques (lado direito da equação do Passo 3):10.000\big(1+a_{\overline{14}|0{,}10}\big)=10.000\big(1+7{,}366251\big)=10.000\cdot 8{,}366251=83.662,51.Ou seja, hoje é necessário ter \$83.662,51 para pagar o saque imediato e os 14 saques futuros.