Questão 3. A fórmula para o cálculo do valor aproximado de I=\int_{-1}^{1} f(x) d x pela regra de Gauss de 3 pontos é:
G_{3}=\frac{5}{9} f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\frac{8}{9} f(0)+\frac{5}{9} f\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)
Para que essa regra possa ser aplicada a um intervalo de integração [a, b] qualquer é necessário realizar a seguinte mudança de variável:
z=\frac{2 x-a-b}{b-a}
(Valor 2,0 ) Calcule o valor aproximado da integral \mathrm{I}=\int_{0}^{1} \cos (2 x) d x utilizando a regra de Gauss de 3 pontos (utilize 3 casas decimais).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado pede para aproximar a integral
I=\int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx
usando a regra de Gauss com 3 pontos dada por
G_{3}=\frac{5}{9} f\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\frac{8}{9} f(0)+\frac{5}{9} f\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right).
Também nos deu a mudança de variável necessária para aplicar a regra em um intervalo [a,b]:
z=\frac{2x-a-b}{b-a}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Intervalo de integração é [a,b]=[0,1].
  • Nós devemos mapear os pontos de [-1,1] (os nós da regra) para [0,1] e lembrar do fator de escala \frac{b-a}{2} ao transformar a integral.
  • Precisamos fornecer o resultado com 3 casas decimais.

Passo 2

Como mapear o intervalo [-1,1] para [0,1] e obter a fórmula prática para usar os pesos.
A mudança de variável dada é
z=\frac{2x-a-b}{b-a}.
Resolvendo para x obtemos a transformação padrão
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,z.
Além disso, a diferencial transforma-se como
dx=\frac{b-a}{2}\,dz.
Para o nosso caso a=0 e b=1 temos
x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}z=\frac{z+1}{2}
e
dx=\frac{1}{2}\,dz.
Portanto
I=\int_{0}^{1}\cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos\!\big(2\cdot\frac{z+1}{2}\big)\,dz.
Ao aplicar a regra de Gauss de 3 pontos na integral em z obtemos a aproximação prática
I\approx \frac{b-a}{2}\left[\frac{5}{9}f(x_1)+\frac{8}{9}f(x_2)+\frac{5}{9}f(x_3)\right],
onde os nós em z são \pm\sqrt{\frac{3}{5}} e 0, e os nós em x são x_i=\frac{z_i+1}{2}.

Passo 3

Calcular os nós em z e os nós mapeados em x.
O nó positivo em z é
z_+=\sqrt{\frac{3}{5}}\approx 0,7745966692.
O nó negativo é z_-=-z_+ e o nó central é z_0=0.
Mapeando para x com x=\frac{z+1}{2}:
x_1=x_-=\frac{-\sqrt{\frac{3}{5}}+1}{2}\approx \frac{1-0,7745966692}{2}\approx 0,1127016654,
x_2=\frac{0+1}{2}=0,5,
x_3=x_+=\frac{\sqrt{\frac{3}{5}}+1}{2}\approx \frac{1+0,7745966692}{2}\approx 0,8872983346.

Passo 4

Avaliar a função f(x)=\cos(2x) nos nós x_1,x_2,x_3.
Calculamos 2x_i e depois \cos(2x_i).
Para x_1:
2x_1\approx 2\cdot 0,1127016654=0,2254033308,
f(x_1)=\cos(2x_1)\approx \cos(0,2254033308)\approx 0,9747045.
(Usei uma expansão em série curta ou calculadora para obter essa aproximação; a ideia é que para ângulos pequenos a série de Taylor de \cos é uma forma prática de estimar.)
Para x_2:
2x_2=2\cdot 0,5=1,
f(x_2)=\cos(1)\approx 0,5403023059.
Para x_3:
repare que x_3=1-x_1, então 2x_3=2-2x_1. Podemos usar a identidade de ângulo:
\cos(2-2x_1)=\cos(2)\cos(2x_1)+\sin(2)\sin(2x_1).
Com \cos(2)\approx -0,4161468365 e \sin(2)\approx 0,9092974268, e usando as estimativas de \cos(2x_1) e \sin(2x_1) (onde \sin(2x_1)\approx 0,223494), obtemos
f(x_3)=\cos(2x_3)\approx -0,2017040.
(Esse cálculo explora a simetria e evita recomputar trigonometria do zero; o resultado numérico aproximado é consistente com uma avaliação direta.)
Resumo numérico das avaliações:
f(x_1)\approx 0,9747045,\qquad f(x_2)\approx 0,5403023059,\qquad f(x_3)\approx -0,2017040.

Passo 5

Aplicar os pesos de Gauss e multiplicar pelo fator \frac{b-a}{2}.
A soma ponderada pela regra de Gauss em [-1,1] é
S=\frac{5}{9}f(x_1)+\frac{8}{9}f(x_2)+\frac{5}{9}f(x_3).
Usando os valores aproximados:
f(x_1)+f(x_3)\approx 0,9747045+(-0,2017040)=0,7730005,
\frac{5}{9}\big(f(x_1)+f(x_3)\big)\approx \frac{5}{9}\cdot 0,7730005\approx 0,429444722,
\frac{8}{9}f(x_2)\approx \frac{8}{9}\cdot 0,5403023059\approx 0,4802687163.
Então
S\approx 0,429444722+0,4802687163\approx 0,9097134383.
Finalmente, multiplicamos pelo fator \frac{b-a}{2}=\frac{1}{2}:
I\approx \frac{1}{2}\,S\approx \frac{1}{2}\cdot 0,9097134383\approx 0,4548567192.

Passo 6

Arredondamento e comparação rápida (para nos dar confiança).
Arredondando o valor obtido para 3 casas decimais temos 0,455.
Para referência (só para conforto): a integral exata é \displaystyle I=\frac{1}{2}\sin(2)\approx 0,4546487134. A aproximação de Gauss com 3 pontos ficou muito próxima, com erro da ordem de 2\times 10^{-4}.

Resposta

0,455

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