Questão 3. A fórmula para o cálculo do valor aproximado de
pela regra de Gauss de 3 pontos é:
Para que essa regra possa ser aplicada a um intervalo de integração [a, b] qualquer é necessário realizar a seguinte mudança de variável:
(Valor 2,0
Calcule o valor aproximado da integral
utilizando a regra de Gauss de 3 pontos (utilize 3 casas decimais).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra de Gauss com 3 pontos dada por
Também nos deu a mudança de variável necessária para aplicar a regra em um intervalo
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Intervalo de integração é
. - Nós devemos mapear os pontos de
(os nós da regra) para e lembrar do fator de escala ao transformar a integral. - Precisamos fornecer o resultado com 3 casas decimais.
Passo 2
Como mapear o intervalo
para
e obter a fórmula prática para usar os pesos.
A mudança de variável dada é
Resolvendo para
obtemos a transformação padrão
Além disso, a diferencial transforma-se como
Para o nosso caso
e
temos
e
Portanto
Ao aplicar a regra de Gauss de 3 pontos na integral em
obtemos a aproximação prática
onde os nós em
são
e
, e os nós em
são
.
Passo 3
Calcular os nós em
e os nós mapeados em
.
O nó positivo em
é
O nó negativo é
e o nó central é
.
Mapeando para
com
:
Passo 4
Avaliar a função
nos nós
.
Calculamos
e depois
.
Para
:
(Usei uma expansão em série curta ou calculadora para obter essa aproximação; a ideia é que para ângulos pequenos a série de Taylor de
é uma forma prática de estimar.)
Para
:
Para
:
repare que , então
. Podemos usar a identidade de ângulo:
repare que
Com
e
, e usando as estimativas de
e
(onde
), obtemos
(Esse cálculo explora a simetria e evita recomputar trigonometria do zero; o resultado numérico aproximado é consistente com uma avaliação direta.)
Resumo numérico das avaliações:
Passo 5
Aplicar os pesos de Gauss e multiplicar pelo fator
.
A soma ponderada pela regra de Gauss em
é
Usando os valores aproximados:
Então
Finalmente, multiplicamos pelo fator
:
Passo 6
Arredondamento e comparação rápida (para nos dar confiança).
Arredondando o valor obtido para 3 casas decimais temos
.
Para referência (só para conforto): a integral exata é
. A aproximação de Gauss com 3 pontos ficou muito próxima, com erro da ordem de
.