Obtenha \zeta, \omega_{n}, T_{s} e T_{p} para as seguintes funções de transferência em malha fechada,
\begin{aligned} T(s) & =\frac{16}{s^{2}+4 s+16} \\\ T(s) & =\frac{2,22}{s^{2}+1,98 s+9} \end{aligned}
T(s)=\frac{10,18}{s^{2}+4 s+16}
Considere os seguintes casos,
(iii) K=10

Passo 1

Você pediu para obter \zeta, \omega_{n}, T_{s} e T_{p} para as seguintes funções de transferência em malha fechada (vou listar exatamente as três que você deu):
T_1(s)=\frac{16}{s^{2}+4 s+16}
T_2(s)=\frac{2,22}{s^{2}+1,98 s+9}
T_3(s)=\frac{10,18}{s^{2}+4 s+16}
O objetivo é, para cada uma, calcular os valores numéricos de \zeta, \omega_{n}, T_{s} (tempo de acomodação, critério 2%) e T_{p} (tempo de pico), apresentando os passos didáticos para entender e aplicar as fórmulas.

Passo 2

Conceito padrão e fórmula de identificação (aula rápida e prática).
Uma função de transferência de segunda ordem padronizada tem a forma
\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}.
Nessa forma:
  • \omega_n é a frequência natural (em rad/s). É ligada ao termo independente do denominador.
  • \zeta é o coeficiente de amortecimento (damping ratio), adimensional. Está ligado ao coeficiente do termo em s.
Portanto, para um denominador s^{2}+a_{1}s+a_{0} identificamos
\omega_n=\sqrt{a_{0}}
e
\zeta=\frac{a_{1}}{2\omega_n}.
Eu sempre aplico essas duas fórmulas direta e confiantemente na prova: primeiro extraio a_0 e a_1, calculo \omega_n e depois \zeta.

Passo 3

Fórmulas para T_{s} e T_{p} (o que significam e quando valem).
  • Tempo de acomodação (critério 2%): uma boa aproximação prática é
T_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_n},
válida para sistemas subamortecidos (ou seja, \zeta>0 e principalmente aplicável quando \zeta\omega_n controla o decaimento exponencial). Essa é a fórmula usual que professores pedem em prova.
  • Tempo de pico (primeiro pico de overshoot), só definido para sistemas subamortecidos ( \zeta<1). Definimos a frequência amortecida
\omega_{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}},
e o tempo de pico é
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_{d}}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Se \zeta\ge1 não há oscilações e T_p não é aplicável (ou não há pico).

Passo 4

Aplicando as fórmulas a T_1(s)=\dfrac{16}{s^{2}+4 s+16}.
Identifico a_{1}=4 e a_{0}=16.
Calculo \omega_n:
\omega_n=\sqrt{a_{0}}=\sqrt{16}=4\\ \text{(rad/s)}.
Calculo \zeta:
\zeta=\frac{a_{1}}{2\omega_n}=\frac{4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}=0,5.
Verifico que \zeta<1, então sistema é subamortecido e T_p existe.
Calculo T_s:
T_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{0,5\cdot 4}=\frac{4}{2}=2\\ \text{s}.
Calculo \omega_d e T_p:
\omega_{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=4\sqrt{1-0,5^{2}}=4\sqrt{1-0,25}=4\sqrt{0,75}=4\cdot 0,866025\approx 3,4641.
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{3,141593}{3,4641}\approx 0,907\\ \text{s}.

Passo 5

Aplicando as fórmulas a T_2(s)=\dfrac{2,22}{s^{2}+1,98 s+9}.
Identifico a_{1}=1,98 e a_{0}=9.
Calculo \omega_n:
\omega_n=\sqrt{a_{0}}=\sqrt{9}=3\\ \text{(rad/s)}.
Calculo \zeta:
\zeta=\frac{a_{1}}{2\omega_n}=\frac{1,98}{2\cdot 3}=\frac{1,98}{6}=0,33.
(é exatamente 0,33 repetido; se quiser mais casas: 0,330\ldots)
Verifico que \zeta<1, então sistema é subamortecido e T_p existe.
Calculo T_s:
T_{s}\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{0,33\cdot 3}=\frac{4}{0,99}\approx 4,0404\\ \text{s}.
Arredondando razoavelmente: T_s\approx 4,04\\ \text{s}.
Calculo \omega_d e T_p:
\omega_{d}=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=3\sqrt{1-0,33^{2}}=3\sqrt{1-0,1089}=3\sqrt{0,8911}\approx 3\cdot 0,94454\approx 2,8336.
T_{p}=\frac{\pi}{\omega_d}\approx\frac{3,141593}{2,8336}\approx 1,109\\ \text{s}.

Passo 6

Aplicando as fórmulas a T_3(s)=\dfrac{10,18}{s^{2}+4 s+16}.
Observe que o denominador é exatamente o mesmo do caso T_1. O numerador diferente não altera \zeta nem \omega_n (esses parâmetros vêm somente do denominador). Portanto os valores de \zeta, \omega_n, T_s e T_p são iguais aos do Passo 4.
Logo:
\omega_n=\sqrt{16}=4,\qquad \zeta=\frac{4}{2\cdot 4}=0,5,
T_{s}=\frac{4}{0,5\cdot 4}=2\\ \text{s},\qquad T_{p}\approx 0,907\\ \text{s}.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (pulo do gato para prova):
  • Sempre olhe primeiro para o denominador e compare com s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}.
  • O numerador (desde que não altere o denominador) não muda \zeta e \omega_n.
  • Use T_s\approx 4/(\zeta\omega_n) para o critério de 2\% e T_p=\pi/(\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}) para sistemas com \zeta<1.
  • Calcule com cuidado a ordem das operações: primeiro \omega_n, depois \zeta, depois \omega_d se precisar de T_p.

Resposta

(i) T_1(s)=\dfrac{16}{s^{2}+4 s+16}:\\ \zeta=0,5,\\ \omega_{n}=4\\ \text{rad/s},\\ T_{s}=2\\ \text{s},\\ T_{p}\approx 0,907\\ \text{s}
(ii) T_2(s)=\dfrac{2,22}{s^{2}+1,98 s+9}:\\ \zeta=0,33,\\ \omega_{n}=3\\ \text{rad/s},\\ T_{s}\approx 4,04\\ \text{s},\\ T_{p}\approx 1,109\\ \text{s}
(iii) T_3(s)=\dfrac{10,18}{s^{2}+4 s+16}:\\ \zeta=0,5,\\ \omega_{n}=4\\ \text{rad/s},\\ T_{s}=2\\ \text{s},\\ T_{p}\approx 0,907\\ \text{s}

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