Uma pista de corrida tem forma de elipse com eixo maior de 200 m e eixo menor de 120 m .
(a) Determine a equação assumindo centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
(b) Calcule a distância focal c e a excentricidade e.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O eixo maior da elipse tem comprimento 200\\ \text{m}.
  • O eixo menor da elipse tem comprimento 120\\ \text{m}.
  • A elipse tem centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
O que o problema pede:
(a) Determinar a equação da elipse assumindo centro na origem e eixos alinhados.
(b) Calcular a distância focal c e a excentricidade e.

Passo 2

Entender semi-eixos: quando o problema dá o comprimento do eixo maior e do eixo menor, devemos dividir por 2 para obter os semi-eixos (que aparecem na equação padrão).
  • O semi-eixo maior (denotado por a) é metade de 200\\ \text{m}. Logo
a = \frac{200}{2} = 100\\ \text{m}.
  • O semi-eixo menor (denotado por b) é metade de 120\\ \text{m}. Logo
b = \frac{120}{2} = 60\\ \text{m}.
Explicação didática rápida: o “eixo maior” é a distância total de uma ponta da elipse à outra ao longo da direção mais longa; chamamos a da metade dessa distância porque a equação usa os semi-eixos.

Passo 3

Equação padrão da elipse centrada na origem com o semi-eixo maior ao longo do eixo x:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui escolhemos a no eixo x porque o enunciado fala em eixo maior e não especifica rotação — com eixos alinhados, a forma acima é a correta quando o maior é horizontal.
Substituindo a=100 e b=60 obtemos a equação específica:
\frac{x^{2}}{100^{2}}+\frac{y^{2}}{60^{2}}=1
ou, simplificando os quadrados,
\frac{x^{2}}{10000}+\frac{y^{2}}{3600}=1.

Passo 4

Calcular a distância focal c. Para uma elipse com semi-eixos a (maior) e b (menor) e com focos sobre o eixo x, vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Breve justificativa: essa relação surge da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos constante igual a 2a) e pode ser verificada avaliando as distâncias no vértice (a,0).
Agora calculamos:
a^{2}=100^{2}=10000,\qquad b^{2}=60^{2}=3600,
c^{2}=10000-3600=6400,
c=\sqrt{6400}=80\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a excentricidade e. A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a},
onde 0\le e<1. Substituindo c=80 e a=100:
e=\frac{80}{100}=0{,}8.
Interpretação didática: e mede o “achatamento” da elipse. Se e=0 a elipse é um círculo; quanto mais próximo de 1, mais “esticada” a elipse fica. Aqui e=0{,}8 indica uma elipse relativamente alongada.

Passo 6

Checagens rápidas:
  • Verificar que 0<c<a: 0<80<100 ok.
  • Todas as unidades de comprimento estão em metros; e é adimensional.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{10000}+\dfrac{y^{2}}{3600}=1
c=80\\ \text{m},\qquad e=0{,}8

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