Uma pista de corrida tem forma de elipse com eixo maior de 200 m e eixo menor de 120 m .
(a) Determine a equação assumindo centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
(b) Calcule a distância focal
e a excentricidade
.
(a) Determine a equação assumindo centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
(b) Calcule a distância focal
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O eixo maior da elipse tem comprimento
. - O eixo menor da elipse tem comprimento
. - A elipse tem centro na origem e eixos alinhados aos eixos coordenados.
O que o problema pede:
(a) Determinar a equação da elipse assumindo centro na origem e eixos alinhados.
(b) Calcular a distância focal e a excentricidade
.
(a) Determinar a equação da elipse assumindo centro na origem e eixos alinhados.
(b) Calcular a distância focal
Passo 2
Entender semi-eixos: quando o problema dá o comprimento do eixo maior e do eixo menor, devemos dividir por
para obter os semi-eixos (que aparecem na equação padrão).
- O semi-eixo maior (denotado por
) é metade de . Logo
- O semi-eixo menor (denotado por
) é metade de . Logo
Explicação didática rápida: o “eixo maior” é a distância total de uma ponta da elipse à outra ao longo da direção mais longa; chamamos
da metade dessa distância porque a equação usa os semi-eixos.
Passo 3
Equação padrão da elipse centrada na origem com o semi-eixo maior ao longo do eixo
:
Aqui escolhemos
no eixo
porque o enunciado fala em eixo maior e não especifica rotação — com eixos alinhados, a forma acima é a correta quando o maior é horizontal.
Substituindo
e
obtemos a equação específica:
ou, simplificando os quadrados,
Passo 4
Calcular a distância focal
. Para uma elipse com semi-eixos
(maior) e
(menor) e com focos sobre o eixo
, vale a relação
Breve justificativa: essa relação surge da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos constante igual a
) e pode ser verificada avaliando as distâncias no vértice
.
Agora calculamos:
Passo 5
Calcular a excentricidade
. A excentricidade de uma elipse é definida por
onde
. Substituindo
e
:
Interpretação didática:
mede o “achatamento” da elipse. Se
a elipse é um círculo; quanto mais próximo de
, mais “esticada” a elipse fica. Aqui
indica uma elipse relativamente alongada.
Passo 6
Checagens rápidas:
- Verificar que
: ok. - Todas as unidades de comprimento estão em metros;
é adimensional.